Aufgaben zur Diskussion von Funktionenscharen

$f_a(x)=-\frac{4}{a^2}(8-a)(x^2-\mathrm{ax})$ mit $a \in\mathbb R\backslash\{0;8\}$

Bestimme den Flächeninhalt $A(a)$ der Fläche zwischen $G_{f_a}$ und der x-Achse.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion finden

Nullstellen berechnen

Bestimme zuerst die Nullstellen der Funktion. Setze also die Funktion gleich 0.

$\displaystyle f_a\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Setze $f_a(x)=-\frac{4}{a^2}(8-a)(x^2-\mathrm{ax})$ ein.
$\displaystyle -\frac{4}{a^2}(8-a)(x^2-\mathrm{ax})$	$=$	$\displaystyle 0\$	$\displaystyle :\left(-\frac{4}{a^2}\left(8-a\right)\right)$
	↓	Es wird durch alles, dass kein $x$ enthält dividiert , da dies keine Auswirkung auf die Nullstellen hat.
$\displaystyle x^2-ax$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	$x$ wird ausgeklammert.
$\displaystyle x\left(x-a\right)$	$=$	$\displaystyle 0$

Diese Gleichung ist dann Null, wenn entweder die Zahl vor der Klammer oder das Innere der Klammer gleich 0 ist.

$x_1=0,\;x_2=a$

Integral aufstellen

Jetzt kannst du ein Integral aufstellen, um die vom Graphen $G_{fa}$ und der $x$ -Achse eingeschlossene Fläche $A(a)$ zu berechnen. Die Fläche befindet sich zwischen den beiden Nullstellen von $f_a$ .

$\displaystyle A\left(a\right)$	$=$	$\displaystyle \left\|\int_0^a-\frac{4}{a^2}\left(8-a\right)\left(x^2-ax\right)\mathrm{dx}\right\|$
	↓	Der Term $-\frac4{a^2}\left(8-a\right)$ wird vor das Integral gezogen. Er hängt nicht von $x$ ab.
	$=$	$\displaystyle \left\|-\frac{4}{a^2}\left(8-a\right)\int_0^a\left(x^2-ax\right)\mathrm{dx}\right\|$
	↓	Bestimme eine Stammfunktion von $(x^2-ax)$ , um das Integral zu berechnen.
	$=$	$\displaystyle \left\|-\frac{4}{a^2}\left(8-a\right)\left[\frac{1}{3}x^3-a\frac{1}{2}x^2\right]_0^a\right\|$
	↓	In die Klammer wird für $x$ die obere Grenze $(a)$ eingesetzt und minus die Klammer mit der unteren Grenze $(0)$ gerechnet.
	$=$	$\displaystyle \left\|-\frac{4}{a^2}\left(8-a\right)\left[\left(\frac{1}{3}a^3-a\frac{1}{2}a^2\right)-\left(\frac{1}{3}0^3-a\frac{1}{2}0^2\right)\right]\right\|$
	$=$	$\displaystyle \left\|-\frac{4}{a^2}\left(8-a\right)\left(\frac{1}{3}a^3-\frac{1}{2}a^3\right)\right\|$
	$=$	$\displaystyle \left\|-\frac{4}{a^2}\left(8-a\right)\left(-\frac{1}{6}a^3\right)\right\|$
	$=$	$\displaystyle \left\|\frac{4}{6a^2}\left(8a^3-a^4\right)\right\|$
	$=$	$\displaystyle \left\|\frac{2}{3}\left(8a-a^2\right)\right\|$
	$=$	$\displaystyle \left\|\frac{2}{3}\left(8a-a^2\right)\right\|$
	↓	Multipliziere nun die Klammer aus und sortiere nach Potenzen.
	$=$	$\displaystyle \left\|-\frac{2}{3}a^2+\frac{16}{3}a\right\|$

Um die Betragsstriche weglassen zu können und später leichter rechnen zu können, kannst du dir überlegen, wann das Innere $-\frac{2}{3}a^2+\frac{16}{3}a$ positiv ist und wann negativ.

$-\frac{2}{3}a^2+\frac{16}{3}a\ =-\frac{2}{3}\left(a^2-8a\right)=\ -\frac{2}{3}\cdot a\ \cdot \left(a-8\right)$

Der Term $-\frac{2}{3}\cdot a\ \cdot \left(a-8\right)$ wäre Null für $a=0$ und $a=8$ . Somit schaust du dir die folgenden Bereiche an:

$a<0$
$0<a<8$ und
$a>8$

In einer Vorzeichentabelle siehst du, wann $-\frac{2}{3}\cdot a\cdot\left(a-8\right)$ positiv ist und wann negativ:

	$a<0$	$0<a<8$	$a>8$
$-\frac 23$	$-$	$-$	$-$
$a$	$-$	$+$	$+$
$a-8$	$-$	$-$	$+$

$-\frac 23\cdot a \cdot (8-a)$	$-$	$+$	$-$

$\Rightarrow \ -\frac{2}{3}a^2+\frac{16}{3}\ >0$ für $0<a<8$ und sonst ist $-\frac{2}{3}a^2+\frac{16}{3}\ <0$

Antwort: $A(a) = \begin{cases} -\frac 23a^2+\frac{16}{3}a & 0<a<8 \\ \frac 23a^2-\frac{16}{3}a & \, \text{sonst} \end{cases}$

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Für welche $a$ ist der Inhalt der Fläche $A(a)$ gleich 8?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionen

Gesucht sind die Werte für $a$ mit $A(a)=8$ . Hierfür nutzt du die ermittelte Funktion $A(a)$ und machst eine Fallunterscheidung.

1. Fall: $0<a<8$ $\;\;\Rightarrow A(a)=-\frac 23a^2+\frac{16}{3}a$

Die zuvor ermittelte Funktion ( $A_1\left(a\right)$ ) wird gleich dem gesuchten Wert gesetzt, um $a$ zu bestimmen.

$\displaystyle 8$	$=$	$\displaystyle A\left(a\right)$
	↓	Setze $A_1=-\frac{2}{3}a^2+\frac{16}{3}a$ ein.
$\displaystyle 8$	$=$	$\displaystyle -\frac{2}{3}a^2+\frac{16}{3}a$	$\displaystyle -8$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -\frac{2}{3}a^2+\frac{16}{3}a-8$
	↓	Wende die Mitternachtsformel an.
$\displaystyle a_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-\frac{16}{3}\pm\sqrt{\left(\frac{16}{3}\right)^2-4\left(-\frac{2}{3}\right)\left(-8\right)}}{2\left(-\frac{2}{3}\right)}$
	↓	Multipliziere unter der Wurzel aus.
$\displaystyle a_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-\frac{16}{3}\pm\sqrt{\frac{256}{9}-\frac{64}{3}}}{2\left(-\frac{2}{3}\right)}$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle a_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-\frac{16}{3}\pm\sqrt{\frac{64}{9}}}{-\frac{4}{3}}$
$\displaystyle a_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-\frac{16}{3}\pm\frac{8}{3}}{-\frac{4}{3}}$
$\displaystyle a_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -\frac{3}{4}\left(-\frac{16}{3}\pm\frac{8}{3}\right)$
$\displaystyle a_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle 4\mp2$

Also ist $A(2)$ und $A(6)$ gleich $8$ .

2. Fall: $a<0$ $\;\;\Rightarrow A(a)=\frac 23a^2-\frac{16}{3}a$

$\displaystyle 8$	$=$	$\displaystyle A\left(a\right)$
	↓	Setze $A_2=\frac{2}{3}a^2-\frac{16}{3}a$ ein.
$\displaystyle 8$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{3}a^2-\frac{16}{3}a$	$\displaystyle -8$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{3}a^2-\frac{16}{3}a-8$
	↓	Wende die Mitternachtsformel an.
$\displaystyle a_{3{,}4}$	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{16}{3}\pm\sqrt{\left(\frac{16}{3}\right)^2-4\left(\frac{2}{3}\right)\left(-8\right)}}{2\left(\frac{2}{3}\right)}$
	↓	Multipliziere unter der Wurzel aus.
$\displaystyle a_{3{,}4}$	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{16}{3}\pm\sqrt{\frac{256}{9}+\frac{64}{3}}}{2\left(\frac{2}{3}\right)}$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle a_{3{,}4}$	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{16}{3}\pm\sqrt{\frac{448}{9}}}{\frac{4}{3}}$
$\displaystyle a_{3{,}4}$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{4}\left(\frac{16}{3}\pm\frac{8\sqrt{7}}{3}\right)$
$\displaystyle a_{3{,}4}$	$=$	$\displaystyle 4\pm2\sqrt{7}$

Also ist $A(4-2\sqrt{7})$ und $A(4+2\sqrt{7})$ gleich $8$ .

Antwort: Für $a=2$ , $a=6$ , $a=4-2\sqrt{7}\approx -1{,}29$ und $a=4+2\sqrt{7}\approx 9{,}29$ ist der Flächeninhalt $A(a)$ der Fläche zwischen $G_{f_a}$ und der x-Achse gleich $8$ .

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Bestimme für $0<a<8$ den Flächeninhalt $A(a)$ so, dass dieser möglichst groß wird. Gib den maximalen Flächeninhalt an.

$F_4(x)=\int _4^xf_4(t)\mathrm{dt}$ Bestimme den Term $F_4(x)$ und alle Nullstellen von $F_4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integral

Stelle $f_4\left(t\right)$ auf, indem du $4$ für $a$ in den Funktionsterm $f_a\left(t\right)$ einsetzen.

$\displaystyle f_4\left(t\right)$	$=$	$\displaystyle \int_4^xf_4(t)\mathrm{dt}$
	$=$	$\displaystyle \int_4^x\left(-t^2+4t\right)\mathrm{dt}$
	↓	Integriere.
	$=$	$\displaystyle \left[-\frac{1}{3}t^3+\frac{4}{2}t^2\right]_4^x$
	↓	In die Klammer wird für $t$ die obere Grenze $(x)$ eingesetzt und minus die Klammer mit der unteren Grenze $(4)$ gerechnet.
	$=$	$\displaystyle \left[-\frac{1}{3}x^3+\frac{4}{2}x^2\right]-\left[-\frac{1}{3}4^3+\frac{4}{2}4^2\right]$
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{3}x^3+\frac{4}{2}x^2+\frac{64}{3}-32$
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{3}x^3+2x^2-\frac{32}{3}$

Bestimme nun die Nullstellen von $F_4(x)$ .

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle F_4(x).$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{3}x^3+2x^2-\frac{32}{3}$	$\displaystyle \cdot\left(-3\right)$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^3-6x^2+32$

Die erste Nullstelle muss erraten werden.

Durch Ausprobieren ermittelt man zum Beispiel $x_1=-2$

Mit Polynomdivision wird jetzt eine neue Gleichung aufgestellt.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\;\;\;(x^3-6x^2\;+0x\;+32):(x+2)=x^2-8x+16\\\underline{-(x^3+2x^2)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;-8x^2+0x\\\;\;\;\;\;\underline{-(-8x^2-16x)\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;16x+32\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(16x+32)}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}$

Die vereinfachte Funktion kannst du jetzt gleich $0$ setzen, um die beiden anderen Nullstellen von $F_4(x)$ zu ermitteln. Die Mitternachtsformel (oder die p-q-Formel) lässt sich anwenden.

Alternativ kann man erkennen, dass es sich bei der vereinfachten Funktion um die zweite binomische Formel handelt und dementsprechend auf das Ergebnis kommen.

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2-8x+16$
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \frac{8\pm\sqrt{\left(8\right)^2-4\cdot\left(1\right)\cdot\left(16\right)}}{2\cdot\left(1\right)}$
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \frac{8\pm\sqrt{(64-64)}}{2}$
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \frac{8}{2}$
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle 4$

Alternativer Rechenweg für die Nullstelle

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2-8x+16$
	↓	Es handelt sich um eine zweite binomische Formel.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \left(x-4\right)^2$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle 0$	$=$		$\displaystyle +4$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x-4$
$\displaystyle 4$	$=$	$\displaystyle x$
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle 4$

Die Funktion $F_4(x)$ hat demnach eine Nullstelle bei $x_1=-2$

und eine doppelte Nullstelle bei $x_{2{,}3}=4$ .

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Berechne die Hoch-, Tief- und Wendepunkte von $G_{F_4}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema

Leite $F_4(x)=-\frac{1}{3}x^3+2x^2-\frac{32}{3}$ zweimal ab.

$F_4'(x)=-x^2+4x$

$F_4''(x)=-2x+4$

Extrema bestimmen

Bestimme die Extrema von $F_4(x)$ .

$\displaystyle F_4'\left(x\right)_{ }$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Setze $F_4'(x)=-x^2+4x$ ein.
$\displaystyle -x^2+4x$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Klammere $-x$ aus.
$\displaystyle -x\left(x-4\right)$	$=$	$\displaystyle 0$

Die Gleichung ist gleich 0, wenn ein Element der Multiplikation ( $-x\cdot\left(x-4\right)$ ) Null ist.

$-x=0$ für $x=0$

$x-4=0$ für $x=4$

${\mathrm{x}}_1=0,\;{\mathrm{x}}_2=4$

Extremum für $x=0$

Setze die gefundene Nullstelle $x=0$ der Ableitung von $F_4(x)$ in $F_4(x)$ ein.

$F_4(x)=-\frac{1}{3}x^3+2x^2-\frac{32}{3}$

$F_4(0)=-\frac{1}{3}\cdot 0^3+2\cdot 0^2-\frac{32}{3}=-\frac{32}{3}$

Setze jetzt $x=0$ in $F_4''(x)=-2x+4$ ein.

$F_4''(0)=-2\cdot 0+4=4$

Da $F_4''(0)>0$ ist, hat $F_4(x)$ an der Stelle ${\mathrm{x}}_1=0$ einen Tiefpunkt $\mathrm{TP}\left(0|-\frac{32}{3}\right)$ .

Extremum für $x=4$

Setze die gefundene Nullstelle $x=4$ der Ableitung von $F_4(x)$ in $F_4(x)$ ein.

$F_4(x)=-\frac{1}{3}x^3+2x^2-\frac{32}{3}$

$F_4(4)=-\frac{1}{3}\cdot 4^3+2\cdot 4^2-\frac{32}{3}=0$

Setze jetzt $x=4$ in $F_4''(x)=-2x+4$ ein.

$F_4''(4)=-2\cdot 4+4=-4$

Da $F_4''(4)<0$ ist, hat $F_4(x)$ an der Stelle ${\mathrm{x}}_2=4$ einen Hochpunkt $\mathrm{HP}\left(4|0\right)$

Wendepunkt bestimmen

Bestimme nun den Wendepunkt.

Setze dafür die zweite Ableitung $F_4''(x)=-2x+4$ gleich $0$ .

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle F_4''\left(x\right)$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -2x+4$	$\displaystyle +2x$
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2$

Setze $x=2$ in $F_4(x)$ ein.

$F_4(2)=-\frac{1}{3}\cdot 2^3+2\cdot 2^2-\frac{32}{3}=-\frac{16}{3}$

Damit ergeben sich die Koordinaten des Wendepunktes $WP\left(2|-\frac{16}{3}\right)$ .

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Skizziere $G_{f_4}$ und $G_{F_4}$ im selben Koordinatensystem.

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$\displaystyle A_1\left(4\right)$	$=$	$\displaystyle -\frac{2}{3}\cdot4^2+\frac{16}{3}\cdot4$
	$=$	$\displaystyle -\frac{2}{3}\cdot16+\frac{16}{3}\cdot4$
	$=$	$\displaystyle -\frac{32}{3}+\frac{64}{3}$
	$=$	$\displaystyle \frac{32}{3}$
	$=$	$\displaystyle 10,\overline{6}$

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle A_1'\left(a\right)$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -\frac{4}{3}a+\frac{16}{3}$	$\displaystyle +\frac{4}{3}a$
$\displaystyle \frac{4}{3}a$	$=$	$\displaystyle \frac{16}{3}$	$\displaystyle :\frac{4}{3}$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle 4$

Nullstellen berechnen

Integral aufstellen

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Alternativer Rechenweg für die Nullstelle

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Extrema bestimmen

Extremum für x=0x=0x=0

Extremum für x=4x=4x=4

Wendepunkt bestimmen

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Extremum für $x=0$

Extremum für $x=4$