fa(x)=−a24(8−a)(x2−ax) mit a∈R\{0;8}
Bestimme den Flächeninhalt A(a) der Fläche zwischen Gfa und der x-Achse.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion finden
Nullstellen berechnen
Bestimme zuerst die Nullstellen der Funktion. Setze also die Funktion gleich 0.
fa(x) = 0 ↓ Setze fa(x)=−a24(8−a)(x2−ax) ein.
−a24(8−a)(x2−ax) = 0 :(−a24(8−a)) ↓ Es wird durch alles, dass kein x enthält dividiert , da dies keine Auswirkung auf die Nullstellen hat.
x2−ax = 0 ↓ x wird ausgeklammert.
x(x−a) = 0 Diese Gleichung ist dann Null, wenn entweder die Zahl vor der Klammer oder das Innere der Klammer gleich 0 ist.
x1=0,x2=a
Integral aufstellen
Jetzt kannst du ein Integral aufstellen, um die vom Graphen Gfa und der x-Achse eingeschlossene Fläche A(a) zu berechnen. Die Fläche befindet sich zwischen den beiden Nullstellen von fa.
A(a) = ∫0a−a24(8−a)(x2−ax)dx ↓ Der Term −a24(8−a) wird vor das Integral gezogen. Er hängt nicht von x ab.
= −a24(8−a)∫0a(x2−ax)dx ↓ Bestimme eine Stammfunktion von (x2−ax), um das Integral zu berechnen.
= −a24(8−a)[31x3−a21x2]0a ↓ In die Klammer wird für x die obere Grenze (a) eingesetzt und minus die Klammer mit der unteren Grenze (0) gerechnet.
= −a24(8−a)[(31a3−a21a2)−(3103−a2102)] = −a24(8−a)(31a3−21a3) = −a24(8−a)(−61a3) = 6a24(8a3−a4) = 32(8a−a2) = 32(8a−a2) ↓ Multipliziere nun die Klammer aus und sortiere nach Potenzen.
= −32a2+316a Um die Betragsstriche weglassen zu können und später leichter rechnen zu können, kannst du dir überlegen, wann das Innere −32a2+316a positiv ist und wann negativ.
−32a2+316a =−32(a2−8a)= −32⋅a ⋅(a−8)
Der Term −32⋅a ⋅(a−8) wäre Null für a=0 und a=8. Somit schaust du dir die folgenden Bereiche an:
a<0
0<a<8 und
a>8
In einer Vorzeichentabelle siehst du, wann −32⋅a⋅(a−8) positiv ist und wann negativ:
a<0
0<a<8
a>8
−32
−
−
−
a
−
+
+
a−8
−
−
+
−32⋅a⋅(8−a)
−
+
−
⇒ −32a2+316 >0 für 0<a<8 und sonst ist −32a2+316 <0
Antwort: A(a)={−32a2+316a32a2−316a0<a<8sonst
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Für welche a ist der Inhalt der Fläche A(a) gleich 8?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionen
Gesucht sind die Werte für a mit A(a)=8. Hierfür nutzt du die ermittelte Funktion A(a) und machst eine Fallunterscheidung.
1. Fall: 0<a<8 ⇒A(a)=−32a2+316a
Die zuvor ermittelte Funktion ( A1(a) ) wird gleich dem gesuchten Wert gesetzt, um a zu bestimmen.
8 = A(a) ↓ Setze A1=−32a2+316a ein.
8 = −32a2+316a −8 0 = −32a2+316a−8 ↓ Wende die Mitternachtsformel an.
a1,2 = 2(−32)−316±(316)2−4(−32)(−8) ↓ Multipliziere unter der Wurzel aus.
a1,2 = 2(−32)−316±9256−364 ↓ Fasse zusammen.
a1,2 = −34−316±964 a1,2 = −34−316±38 a1,2 = −43(−316±38) a1,2 = 4∓2 Also ist A(2) und A(6) gleich 8.
2. Fall: a<0 ⇒A(a)=32a2−316a
8 = A(a) ↓ Setze A2=32a2−316a ein.
8 = 32a2−316a −8 0 = 32a2−316a−8 ↓ Wende die Mitternachtsformel an.
a3,4 = 2(32)316±(316)2−4(32)(−8) ↓ Multipliziere unter der Wurzel aus.
a3,4 = 2(32)316±9256+364 ↓ Fasse zusammen.
a3,4 = 34316±9448 a3,4 = 43(316±387) a3,4 = 4±27 Also ist A(4−27) und A(4+27) gleich 8.
Antwort: Für a=2, a=6, a=4−27≈−1,29 und a=4+27≈9,29 ist der Flächeninhalt A(a) der Fläche zwischen Gfa und der x-Achse gleich 8.
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Bestimme für 0<a<8 den Flächeninhalt A(a) so, dass dieser möglichst groß wird. Gib den maximalen Flächeninhalt an.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Maximum
Der Maximalwert der Fläche ist das gleiche, wie das Maximum der Funktion .
Um dieses zu bestimmen, muss A1(a) ( A1=−32a2+316a ) abgeleitet werden.
A1′(a)=−34a+316
Der Graph von A1(a) ist eine nach unten geöffnete Parabel, d.h. es gibt nur ein Maximum. Das gesuchte Maximum ist die Nullstelle der Ableitung, demnach wird dadA gleich 0 gesetzt.
0 = A1′(a) 0 = −34a+316 +34a 34a = 316 :34 a = 4 Die Bedingung in der Aufgabenstellung 0<a<8 ist für a=4 erfüllt.
Die Stelle, an der A1(a) den größten Wert hat ist bekannt, wie hoch dieser ist wird ermittelt, indem das berechnete a in A1(a) eingesetzt wird.
A1(4) = −32⋅42+316⋅4 = −32⋅16+316⋅4 = −332+364 = 332 = 10,6 Antwort: Der maximale Flächeninhalt beträgt 332FE.
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F4(x)=∫4xf4(t)dt Bestimme den Term F4(x) und alle Nullstellen von F4
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integral
Stelle f4(t) auf, indem du 4 für a in den Funktionsterm fa(t) einsetzen.
Bestimme nun die Nullstellen von F4(x).
0 = F4(x). 0 = −31x3+2x2−332 ⋅(−3) 0 = x3−6x2+32 Die erste Nullstelle muss erraten werden.
Durch Ausprobieren ermittelt man zum Beispiel x1=−2
Mit Polynomdivision wird jetzt eine neue Gleichung aufgestellt.
(x3−6x2+0x+32):(x+2)=x2−8x+16−(x3+2x2)−8x2+0x−(−8x2−16x)16x+32−(16x+32)0
Die vereinfachte Funktion kannst du jetzt gleich 0 setzen, um die beiden anderen Nullstellen von F4(x) zu ermitteln. Die Mitternachtsformel (oder die p-q-Formel) lässt sich anwenden.
Alternativ kann man erkennen, dass es sich bei der vereinfachten Funktion um die zweite binomische Formel handelt und dementsprechend auf das Ergebnis kommen.
0 = x2−8x+16 x2,3 = 2⋅(1)8±(8)2−4⋅(1)⋅(16) x2,3 = 28±(64−64) x2,3 = 28 x2,3 = 4 Alternativer Rechenweg für die Nullstelle
0 = x2−8x+16 ↓ Es handelt sich um eine zweite binomische Formel.
0 = (x−4)2 0 = +4 0 = x−4 4 = x x2,3 = 4 Die Funktion F4(x) hat demnach eine Nullstelle bei x1=−2
und eine doppelte Nullstelle bei x2,3=4.
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Berechne die Hoch-, Tief- und Wendepunkte von GF4 .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema
Leite F4(x)=−31x3+2x2−332 zweimal ab.
F4′(x)=−x2+4x
F4′′(x)=−2x+4
Extrema bestimmen
Bestimme die Extrema von F4(x).
F4′(x) = 0 ↓ Setze F4′(x)=−x2+4x ein.
−x2+4x = 0 ↓ Klammere −x aus.
−x(x−4) = 0 Die Gleichung ist gleich 0, wenn ein Element der Multiplikation ( −x⋅(x−4) ) Null ist.
−x=0 für x=0
x−4=0 für x=4
x1=0,x2=4
Extremum für x=0
Setze die gefundene Nullstelle x=0 der Ableitung von F4(x) in F4(x) ein.
F4(x)=−31x3+2x2−332
F4(0)=−31⋅03+2⋅02−332=−332
Setze jetzt x=0 in F4′′(x)=−2x+4 ein.
F4′′(0)=−2⋅0+4=4
Da F4′′(0)>0 ist, hat F4(x) an der Stelle x1=0 einen Tiefpunkt TP(0∣−332).
Extremum für x=4
Setze die gefundene Nullstelle x=4 der Ableitung von F4(x) in F4(x) ein.
F4(x)=−31x3+2x2−332
F4(4)=−31⋅43+2⋅42−332=0
Setze jetzt x=4 in F4′′(x)=−2x+4 ein.
F4′′(4)=−2⋅4+4=−4
Da F4′′(4)<0 ist, hat F4(x) an der Stelle x2=4 einen Hochpunkt HP(4∣0)
Wendepunkt bestimmen
Bestimme nun den Wendepunkt.
Setze dafür die zweite Ableitung F4′′(x)=−2x+4 gleich 0.
0 = F4′′(x) 0 = −2x+4 +2x 2x = 4 :2 x = 2 Setze x=2 in F4(x) ein.
F4(2)=−31⋅23+2⋅22−332=−316
Damit ergeben sich die Koordinaten des Wendepunktes WP(2∣−316).
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Skizziere Gf4 und GF4 im selben Koordinatensystem.
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