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Für jedes aR\{0}a\in \mathbb R\backslash\{0\} ist die Funktionenschar gegeben durch fa(x)=x+aex+1af_a(x)=x+a\cdot e^{-x}+\frac{1}{a}.

Der Graph der Funktion ist KaK_a.

Gib bei allen Teilaufgaben die Ergebnisse in Abhängigkeit vom Scharparameter aa an.

  1. Wo schneiden die Scharkurven die yy-Achse?

  2. Welche Scharkurve schneidet die yy-Achse im Punkt Sy(05,2)S_y(0|5{,}2)?

  3. Untersuche KaK_a auf Hoch- und Tiefpunkte.

  4. Welche Scharkurve hat für x=0x=0 die Steigung 13\dfrac{1}{3}?

  5. Bestimme das Verhalten der Funktion fa(x)f_a(x) für xx\rightarrow -\infty und für xx\rightarrow \infty.

  6. Skizziere für a=1a=-1 und a=1a=1 die Graphen von K1K_{-1} und von K1K_1.

  7. Auf welcher Ortskurve g(x)g(x) liegen die Extrema?