Die $y$-Achse wird für $x=0$ geschnitten.

Setze $x=0$ in die Funktionsgleichung ein:

$f_a(0)=0+a\cdot e^{-0}+\frac{1}{a}=a\cdot 1+\frac{1}{a}$

Antwort: Die y-Achse wird im Punkt $S_y(0|a+\frac{1}{a})$ geschnitten.

Setze den Punkt $S_y(0|5{,}2)$ in $f_a(x)$ ein:

$5{,}2=0+a\cdot e^{-0}+\frac{1}{a}=a+\frac{1}{a}$

Antwort: Die Scharkurven $K_{0{,}2}$ und $K_5$ schneiden die $y$-Achse im Punkt $S_y(0|5{,}2)$

Die notwendige Bedingung für ein Extremum lautet: $f_a'(x)=0$

Berechne die 1. Ableitung, beachte dabei die Kettenregel:

$f_a'(x)=1-a\cdot e^{-x}$

Setze $f_a'(x)=0:$

Die Feststellung, ob sich an der Stelle $x=\ln(a)$ ein Extremum befindet, kann mit einer Monotonietabelle oder der 2. Ableitung erfolgen. Hier erfolgt die Überprüfung mit der 2. Ableitung:

Ist $f_a''(x)>0$, dann hat die Scharkurve $K_a$ an der Stelle $x$ einen Tiefpunkt.

Ist $f_a''(x)<0$, dann hat die Scharkurve $K_a$ an der Stelle $x$ einen Hochpunkt.

Berechne die 2. Ableitung, beachte dabei wieder die Kettenregel:

$f_a'(x)=1-a\cdot e^{-x}$

$f_a''(x)=a\cdot e^{-x}$

Setze $x=\ln(a)$ in $f_a''(x)=a\cdot e^{-x}$ ein, um zu prüfen, ob es ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt ist:

$f_a''(\ln(a))=a\cdot e^{-\ln(a)} =a\cdot\frac{1}{a}=1>0$. Damit handelt es sich um einen Tiefpunkt.

Berechne den $y$-Wert des Tiefpunktes, indem du $x=\ln(a)$ in $f_a(x)$ einsetzt:

$f_a(\ln(a))=\ln(a)+a\cdot e^{-\ln(a)}+\frac{1}{a}=\ln(a)+a\cdot\frac{1}{a} +\frac{1}{a}=\ln(a)+1+\frac{1}{a}$.

Der Tiefpunkt hat die Koordinaten $TP(\ln(a)|\ln(a)+1+\frac{1}{a})$.

Es gibt nur für $a>0$ Tiefpunkte, da der $\ln(a)$ nur für $a>0$ definiert ist.

Die Steigung für $x=0$ soll $\dfrac{1}{3}$ sein.

Setze $x=0$ in $f_a'(x)=1-a\cdot e^{-x}$ ein:

$f_a'(0)=1-a\cdot e^{-0}=1-a$

Setze $f_a'(0)=\dfrac{1}{3}\;\Rightarrow\;$ $1-a=\dfrac{1}{3}\;\Rightarrow\;a=\dfrac{2}{3}$

Antwort: Die Scharkurve $K_{\frac{2}{3}}$ hat bei $x=0$ die Steigung $\dfrac{1}{3}$.

Betrachte zunächst $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(x+a\cdot e^{-x}+\frac{1}{a}\right)$. Wie verhält sich der Ausdruck $a\cdot e^{-x}$, wenn $x$ sehr groß wird? Das Verhalten hängt vom Vorzeichen des Scharparameters $a$ ab, d.h. es ist eine Fallunterscheidung bzgl. des Vorzeichens von $a$ erforderlich.

Fallunterscheidung

Fall 1: $a>0$

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(x+a\cdot e^{-x}+\frac{1}{a}\right)=\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(x+\underbrace{a\cdot e^{-x}}_{\rightarrow 0}+\frac{1}{a}\right)=\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(x+\frac{1}{a}\right)$

$\;\Rightarrow\;y_{Asymptote}=x+\frac{1}{a}$ ist eine schiefe Asymptote (im Weiteren abgekürzt mit $y_A$)

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}\left(x+a\cdot e^{-x}+\frac{1}{a}\right)=\lim_{x\rightarrow-\infty}\left(x+\underbrace{a\cdot e^{-x}}_{\rightarrow +\infty}+\frac{1}{a}\right)=+\infty$

Fall 2: $a<0$

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(x+a\cdot e^{-x}+\frac{1}{a}\right)=\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(x+\underbrace{a\cdot e^{-x}}_{\rightarrow 0}+\frac{1}{a}\right)=\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(x+\frac{1}{a}\right)$

$\;\Rightarrow\;y_A=x+\frac{1}{a}$ ist eine schiefe Asymptote.

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}\left(x+a\cdot e^{-x}+\frac{1}{a}\right)=\lim_{x\rightarrow-\infty}\left(x+\underbrace{a\cdot e^{-x}}_{\rightarrow -\infty}+\frac{1}{a}\right)=-\infty$

Alle Scharkurven haben bei $+\infty$ eine schiefe Asymptote $y_A=x+\frac{1}{a}$.

Für $a=-1$ lautet $f_{-1}(x)=x- e^{-x}-1$ und für $a=1$ ist $f_{1}=x+ e^{-x}+1$.

Bekannt sind weiterhin der Schnittpunkt mit der y-Achse $S_y(0|a+\frac{1}{a})$, der Tiefpunkt $TP(\ln(a)|\ln(a)+1+\frac{1}{a})$ und die schiefe Asymptote $y_A=x+\frac{1}{a}$.

Zum Skizzieren der beiden Graphen ist es sinnvoll, noch einige Funktionswerte zu berechnen. Sie sind in den beiden folgenden Tabellen aufgelistet.

Tabelle für $f_{-1}(x)=x- e^{-x}-1$

Die Funktion $f_{-1}(x)=x- e^{-x}-1$ hat die schiefe Asymptote $y_A=x-1$.

Tabelle für $f_{1}=x+ e^{-x}+1$

Die Funktion $f_{1}=x+ e^{-x}+1$ hat die schiefe Asymptote $y_A=x+1$.

Graphen von $K_{-1}$ und von $K_1$.

Für die Ortskurve der Tiefpunkte benötigst du die Tiefpunktkoordinaten:

$TP(\ln(a)|\ln(a)+1+\frac{1}{a})$.

Für die Berechnung der Ortskurve setzt du $x=\ln(a)$ und $y=\ln(a)+1+\frac{1}{a}$.

Löse dann $x=\ln(a)$ nach $a$ auf $\;\Rightarrow\;a=e^{x}$.

Setze $a=e^{x}$ in $y=\ln(a)+1+\frac{1}{a}$ ein:

$y=\ln(e^{x})+1+\frac{1}{e^{x}}=x+1+e^{-x}$

Antwort: Die Gleichung der Ortskurve lautet $g(x)=x+1+e^{-x}$.

Zur Veranschaulichung sind im folgenden Applet mehrere Scharkurven und die Ortskurve der Tiefpunkte dargestellt.

Anmerkung: Die Scharkurve $K_1$ und die Ortskurve sind identisch.