Die $y$-Achse wird für $x=0$ geschnitten.

Setze $x=0$ in die Funktionsgleichung ein:

$f_a(0)=0+a\cdot e^{-0}+\frac{1}{a}=a\cdot 1+\frac{1}{a}$

Antwort: Die y-Achse wird im Punkt $S_y(0|a+\frac{1}{a})$ geschnitten.

Setze den Punkt $S_y(0|\mathrm{5,2})$ in $f_a(x)$ ein:

$\mathrm{5,2}=0+a\cdot e^{-0}+\frac{1}{a}=a+\frac{1}{a}$

Antwort: Die Scharkurven $K_{\mathrm{0,2}}$ und $K_5$ schneiden die $y$-Achse im Punkt $S_y(0|\mathrm{5,2})$

Die notwendige Bedingung für ein Extremum lautet: $f_a^{\prime }(x)=0$

Berechne die 1. Ableitung, beachte dabei die Kettenregel:

$f_a^{\prime }(x)=1-a\cdot e^{-x}$

Setze $f_a^{\prime }(x)=0:$

Die Feststellung, ob sich an der Stelle $x=\ln (a)$ ein Extremum befindet, kann mit einer Monotonietabelle oder der 2. Ableitung erfolgen. Hier erfolgt die Überprüfung mit der 2. Ableitung:

Ist $f_a^{\prime \prime }(x)>0$, dann hat die Scharkurve $K_a$ an der Stelle $x$ einen Tiefpunkt.

Ist $f_a^{\prime \prime }(x)<0$, dann hat die Scharkurve $K_a$ an der Stelle $x$ einen Hochpunkt.

Berechne die 2. Ableitung, beachte dabei wieder die Kettenregel:

$f_a^{\prime }(x)=1-a\cdot e^{-x}$

$f_a^{\prime \prime }(x)=a\cdot e^{-x}$

Setze $x=\ln (a)$ in $f_a^{\prime \prime }(x)=a\cdot e^{-x}$ ein, um zu prüfen, ob es ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt ist:

$f_a^{\prime \prime }(\ln (a))=a\cdot e^{-\ln (a)}=a\cdot \frac{1}{a}=1>0$. Damit handelt es sich um einen Tiefpunkt.

Berechne den $y$-Wert des Tiefpunktes, indem du $x=\ln (a)$ in $f_a(x)$ einsetzt:

$f_a(\ln (a))=\ln (a)+a\cdot e^{-\ln (a)}+\frac{1}{a}=\ln (a)+a\cdot \frac{1}{a}+\frac{1}{a}=\ln (a)+1+\frac{1}{a}$.

Der Tiefpunkt hat die Koordinaten $TP(\ln (a)|\ln (a)+1+\frac{1}{a})$.

Es gibt nur für $a>0$ Tiefpunkte, da der $\ln (a)$ nur für $a>0$ definiert ist.

Die Steigung für $x=0$ soll ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ sein.

Setze $x=0$ in $f_a^{\prime }(x)=1-a\cdot e^{-x}$ ein:

$f_a^{\prime }(0)=1-a\cdot e^{-0}=1-a$

Setze $f_a^{\prime }(0)={\displaystyle \frac{1}{3}}\Rightarrow$ $1-a={\displaystyle \frac{1}{3}}\Rightarrow a={\displaystyle \frac{2}{3}}$

Antwort: Die Scharkurve $K_{\frac{2}{3}}$ hat bei $x=0$ die Steigung ${\displaystyle \frac{1}{3}}$.

Betrachte zunächst $${\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }(x+a\cdot e^{-x}+\frac{1}{a})}$$. Wie verhält sich der Ausdruck $a\cdot e^{-x}$, wenn $x$ sehr groß wird? Das Verhalten hängt vom Vorzeichen des Scharparameters $a$ ab, d.h. es ist eine Fallunterscheidung bzgl. des Vorzeichens von $a$ erforderlich.

Fallunterscheidung

Fall 1: $a>0$

$${\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }(x+a\cdot e^{-x}+\frac{1}{a})=\underset{x\to +\infty }{\lim }(x+\underset{\to 0}{\underbrace{a\cdot e^{-x}}}+\frac{1}{a})=\underset{x\to +\infty }{\lim }(x+\frac{1}{a})}$$

$\Rightarrow y_{Asymptote}=x+\frac{1}{a}$ ist eine schiefe Asymptote (im Weiteren abgekürzt mit $y_A$)

$${\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }(x+a\cdot e^{-x}+\frac{1}{a})=\underset{x\to -\infty }{\lim }(x+\underset{\to +\infty }{\underbrace{a\cdot e^{-x}}}+\frac{1}{a})=+\infty }$$

Fall 2: $a<0$

$${\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }(x+a\cdot e^{-x}+\frac{1}{a})=\underset{x\to +\infty }{\lim }(x+\underset{\to 0}{\underbrace{a\cdot e^{-x}}}+\frac{1}{a})=\underset{x\to +\infty }{\lim }(x+\frac{1}{a})}$$

$\Rightarrow y_A=x+\frac{1}{a}$ ist eine schiefe Asymptote.

$${\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }(x+a\cdot e^{-x}+\frac{1}{a})=\underset{x\to -\infty }{\lim }(x+\underset{\to -\infty }{\underbrace{a\cdot e^{-x}}}+\frac{1}{a})=-\infty }$$

Alle Scharkurven haben bei $+\infty$ eine schiefe Asymptote $y_A=x+\frac{1}{a}$.

Für $a=-1$ lautet $f_{-1}(x)=x-e^{-x}-1$ und für $a=1$ ist $f_1=x+e^{-x}+1$.

Bekannt sind weiterhin der Schnittpunkt mit der y-Achse $S_y(0|a+\frac{1}{a})$, der Tiefpunkt $TP(\ln (a)|\ln (a)+1+\frac{1}{a})$ und die schiefe Asymptote $y_A=x+\frac{1}{a}$.

Zum Skizzieren der beiden Graphen ist es sinnvoll, noch einige Funktionswerte zu berechnen. Sie sind in den beiden folgenden Tabellen aufgelistet.

Tabelle für $f_{-1}(x)=x-e^{-x}-1$

Die Funktion $f_{-1}(x)=x-e^{-x}-1$ hat die schiefe Asymptote $y_A=x-1$.

Tabelle für $f_1=x+e^{-x}+1$

Die Funktion $f_1=x+e^{-x}+1$ hat die schiefe Asymptote $y_A=x+1$.

Graphen von $K_{-1}$ und von $K_1$.

Für die Ortskurve der Tiefpunkte benötigst du die Tiefpunktkoordinaten:

$TP(\ln (a)|\ln (a)+1+\frac{1}{a})$.

Für die Berechnung der Ortskurve setzt du $x=\ln (a)$ und $y=\ln (a)+1+\frac{1}{a}$.

Löse dann $x=\ln (a)$ nach $a$ auf $\Rightarrow a=e^x$.

Setze $a=e^x$ in $y=\ln (a)+1+\frac{1}{a}$ ein:

$y=\ln (e^x)+1+\frac{1}{e^x}=x+1+e^{-x}$

Antwort: Die Gleichung der Ortskurve lautet $g(x)=x+1+e^{-x}$.

Zur Veranschaulichung sind im folgenden Applet mehrere Scharkurven und die Ortskurve der Tiefpunkte dargestellt.

Anmerkung: Die Scharkurve $K_1$ und die Ortskurve sind identisch.