Für die Form eines romanischen Fensters (Rechteck mit oben angefügtem Halbkreis) soll bei gegebenem Umfang die größtmögliche Fläche berechnet werden.

Der gegebene Umfang $u=5\,LE$ ist für die Zielfunktion die "Nebenbedingung".

$\begin {array} {r c l l}2a+b+\dfrac 12 b\pi&=&5&|\,\text{b ausklammern}\\2a+b(1+\dfrac 12 \pi)&=&5&|-\,b( …)\\2a&=&5-b(1+ \dfrac 12\pi)&|\;:2\\a&=&2{,}5-\dfrac 12 b(1+\dfrac 12 \pi)&\text{Setze a in A(a;b) ein.}\end{array}$

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}A(\color{red}{b})&=&\color{red}{(}2{,}5-\dfrac12 b(1+\dfrac 12 \pi)\color{red}{)}\cdot b+ \dfrac 12\cdot (\dfrac {b}{2})^2\pi\\ &=&2{,}5b-\dfrac 12b^2(1+\dfrac12\pi)+\dfrac18b^2\pi&|\,\text{D-Gesetz für}\;\dfrac12b^2(1+\dfrac12\pi)\\ &=&2{,}5b-\dfrac12b^2-\dfrac14b^2\pi+\dfrac18b^2\pi&|\;b^2\,\text{zusammenfassen}\\&=&2{,}5b-b^2(\dfrac12+\dfrac14\pi-\dfrac18\pi)&|\text{zusammenfassen}\\A(b)&=&2{,}5b-(\dfrac12+\dfrac18\pi)b^2&|\,\text{Berechne A'(b) und A''(b)}.\end{array}$

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcll}2{,}5-b(1+\dfrac14\pi)&=&0\\\displaystyle b\cdot\dfrac{4+\pi}{4}&=&2{,}5&|\;:\displaystyle \dfrac{4+\pi}{4}\\ b_{max}&=&\displaystyle \dfrac{10}{4+\pi}&\Rightarrow\end{array}$

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcll}a_{max}&=&\displaystyle 2{,}5-\dfrac12\color{red}{(\dfrac{10}{4+\pi})}(1+\dfrac12\pi)\\&=&\displaystyle 2{,}5-\dfrac{5}{4+\pi}\cdot\dfrac{2+\pi}{2}\\&=&\displaystyle 2{,}5-2{,}5\cdot \dfrac{2+\pi}{4+\pi}\\&=&\displaystyle \dfrac{2{,}5\cdot (4+\pi)-2{,}5\cdot (2+\pi)}{4+\pi}\\a_{max}&=&\displaystyle \dfrac{5}{4+\pi}\end{array}$

Setze $b_{max}$ und $a_{max}$ in $A(a;b)$ ein, um die maximale Fläche des romanischen Fensters mit dem Umfang $5\,LE$ zu erhalten.

(Du kannst auch $b_{max}$ alleine in $A(b)$ einsetzen.)

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcll}A_{max}&=&\displaystyle \dfrac{5}{4+\pi}\cdot \dfrac{10}{4+\pi}+\dfrac12 \cdot \left(\dfrac{5}{4+\pi}\right)^2\cdot \pi\\&=&\displaystyle\dfrac{50}{(4+\pi)^2}+\dfrac{25\pi}{2\cdot (4+\pi)^2}\\&=&\displaystyle \dfrac{100+25\pi}{2(4+\pi)^2}\\&=&\displaystyle \dfrac{25(4+\pi)}{2(4+\pi)^2}\\A_{max}&=&\displaystyle \dfrac{12{,}5}{4+\pi}\\A_{max}&\approx&1{,}75\end{array}$

Ergebnis:

Das romanische Fenster mit dem Umfang $5\,LE$ hat seine größte Fläche von rund $1{,}75\,FE$, wenn die Grundseite gerade doppelt so groß ist wie die Höhe des Rechtecks.

Anhand des beigefügten Applets kannst du durch Verschieben des unteren rechten Eckpunkts das Ergebnis überprüfen.