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Aufgaben zu Extremwertproblemen aus der Geometrie

Hier findest du Aufgaben zu Extremwertproblemen aus der Geometrie. Schaffst du sie alle?

  1. 1

    Auf einem Bauernhof möchte der Bauer eine rechteckige Koppel fĂŒr seine Pferde anlegen.

    Die Koppel liegt an einem Fluss und soll deshalb nur an drei Seiten eingezÀunt werden.

    Der zur VerfĂŒgung stehende Zaun ist 120m lang.

    Wie muss der Bauer die Koppel anlegen, damit sie eine möglichst große WeideflĂ€che hat?

    Wie groß ist die WeideflĂ€che dieser Koppel?

  2. 2
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    Die Gemeinde Haar weist neues Bauland aus.

    Herr Meier hat die dreieckige FlĂ€che gekauft, muss aber nun (wie vorgeschrieben) ein rechteckiges BaugrundstĂŒck festlegen.

    Wie sollte sich Herr Meier entscheiden, wenn er ein möglichst großes BaugrundstĂŒck haben will?

  3. 3
    Dreieck mit Rechteck

    Aus einem diagonal halbierten DIN A4 Blatt soll entsprechend der Zeichnung ein möglichst großflĂ€chiges Rechteck geschnitten werden.

               

    Finde die Breite a, fĂŒr die der FlĂ€cheninhalt des Rechtecks maximal ist.


  4. 4

    Aus einem 36 m36\,\mathrm{m} langen Draht soll das Kantenmodell einer quadratischen SĂ€ule hergestellt werden.

    Wie lang sind die Kanten zu wÀhlen, damit die SÀule maximales Volumen hat?

    ist die KantenlÀnge.
  5. 5

    Aus einem 120cm langen Draht ist das Kantenmodell eines Quaders herzustellen, so dass eine Kante dreimal so lang wie eine andere und der Rauminhalt maximal ist.

    Wie lang sind die Kanten zu wÀhlen?

  6. 6

    Eine oben offene zylinderförmige Dose mit dem Volumen V soll aus Blech hergestellt werden. Dabei soll der Blechverbrauch möglichst gering sein. Bestimme die Höhe und den Durchmesser der Dose, sowie den minimalen Blechverbrauch.

  7. 7
    romanisches Fenster

    Eine romanische Fensterform ist zusammengesetzt aus einem Rechteck und einem oben anschließenden Halbkreis.

    Das nebenstehende romanische Fenster habe den Umfang u = 5 LEu\,=\,5\,LE und die Rechtecksseiten a LEa\,LE und b LEb\,LE.

    Bei welchen Werten fĂŒr aa und bb hat das Fenster den grĂ¶ĂŸtmöglichen FlĂ€cheninhalt?

  8. 8
    Schafe auf Weide hinter Zaun

    Ein SchĂ€fer  möchte fĂŒr seine Schafe eine rechteckige WeideflĂ€che mit einem Zaun begrenzen.

    Die WeideflÀche grenzt direkt an eine Felswand.

    Der SchĂ€fer hat insgesamt 4040 je 1m1 m lange zusammensteckbare Zaunelemente zur VerfĂŒgung.

    Skizze zur Aufgabe

    Ermittle die Abmessungen xx und yy so, dass die abgesteckte FlÀche einen maximalen FlÀcheninhalt A A  hat.

    Quellen

    Abb 1: https://pixabay.com/de/schaf-berg-ranch-japan-zaun-680217/

  9. 9

    SchultĂŒten

    Jana und Nish basteln zu ihrer Einschulung SchultĂŒten.

    Ihre Eltern haben ihnen bereits rundes dickes Papier bereit gelegt, mit einem Radius von R=50  cmR=50\;\text{cm}.

    Bild

    Dieses malen sie bunt an und schneiden einen Kreissektor aus dem Papier aus, um einen Kegel zu formen.

    Jana schneidet einen Kreissektor mit dem Mittelpunktswinkel φ=120°φ=120° aus. Nish wĂ€hlt fĂŒr seine SchultĂŒte φ=60°\varphi=60°.

    1. Jana ist der Meinung, dass in ihre TĂŒte doppelt so viel Inhalt passt wie in Nishs TĂŒte, da sie einen doppelt so großen Winkel gewĂ€hlt hat. Berechne, ob Jana mit ihrer Annahme richtig liegt.

    2. Lina kommt spĂ€ter zum Basteln dazu und bekommt die Diskussion zwischen Nish und Jana mit. Sie möchte beide ĂŒbertrumpfen und eine SchultĂŒte basteln, in die am meisten SĂŒĂŸes rein passt. Sie benutzt ein ĂŒbriges rundes Papier mit R=50  cmR=50\;\text{cm} und schneidet einen Kreissektor mit Mittelpunktswinkel φ\varphi aus dem Papier aus. Bestimme den Winkel φ\varphi, fĂŒr den das Kegelvolumen maximal wird.

    3. Beurteile an Hand von Durchmesser und Höhe des Kegels, ob sich die gebastelten KegelmĂ€ntel auch als SchultĂŒten eignen.


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