Aufgaben zu Extremwertproblemen aus der Geometrie

Für die maximale Weidefläche muss der Bauer die Koppel also 60 m lang und 30 m breit wählen. Damit erreicht er eine Weidefläche von 1800 m².

Da es sich um eine nach unten geöffnete Parabel handelt, liegt das Maximum der Funktion bei ihrem Scheitelpunkt .

Dieser liegt genau in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen.

Betrachte die beiden Faktoren getrennt. Betrachte zuerst den 1. Faktor:

Wir suchen aus allen Konservendosen mit Volumen V diejenige mit minimalem Oberflächeninhalt.

Volumenformel: $\mathrm V=\mathrm G\cdot\mathrm h$ (Grundseite mal Höhe) wobei die Grundseite eines Zylinders ein Kreis ist, d.h. ${\mathrm G}_\mathrm{Kreis}=\mathrm r^2\cdot\mathrm\pi$ .

Oberflächeninhalt eines Zylinders ist gegeben durch ${\mathrm A}_\mathrm{Zylinder}=A_{Mantel}+A_{Kreis}=2\cdot\mathrm r\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm h+\mathrm r^2\cdot\mathrm\pi$ .

1. Zielfunktion bestimmen: Der Oberflächeninhalt des Zylinders ist zu minimieren. Unsere Funktion ist von r und h abhängig. ${\mathrm A}_\mathrm{Zylinder}=2\cdot\mathrm r\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm h+\mathrm r^2\cdot\mathrm\pi$ .

2. Nebenbedingungen formulieren und einsetzen: Der Oberflächeninhalt des Zylinders ist zu minimieren unter der Bedingung, dass das Volumen erhalten bleibt. Wir können nun also die Höhe in Abhängkeit vom Radius ermitteln, indem wir die Formel $\mathrm V={\mathrm G}_\mathrm{Kreis}\cdot\mathrm h=\mathrm r^2\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm h$ nach h auflösen. Es ergibt sich die Nebenbedingung $h=\frac V{r^2\cdot\mathrm\pi}$ . Einsetzen in die Zielfunktion ergibt: $\mathrm A=2\cdot\mathrm r\cdot\mathrm\pi\cdot{\textstyle\left({\displaystyle\frac{\mathrm V}{\mathrm r^2\cdot\mathrm\pi}}\right)}+r^2\cdot\mathrm\pi=2\cdot\frac Vr+r^2\cdot\mathrm\pi=2V\cdot\frac1r+\mathrm\pi\cdot\mathrm r^2$ . Unsere Zielfunktion hängt jetzt nur noch von r ab, also können wir auch schreiben $\mathrm A(\mathrm r)=2\mathrm V\cdot\frac1{\mathrm r}+\mathrm\pi\cdot\mathrm r^2$ .

3. Für die Extremalfunktion $\mathrm A(\mathrm r)$ den Definitionsbereich $\mathbb{D}_\mathrm A$ bestimmen: $\mathbb {D}_A=\mathbb{R}\backslash\{0\}$. Allerdings muss r > 0 sein.

4.  Wir suchen das Minimum von $\mathrm A(\mathrm r)$ mit Hilfe der ersten und zweiten Ableitung.

Für ein mögliches Minimum muss die erste Ableitung gleich Null werden. Setze also $A'\left(r\right)=2V\cdot\left(-\frac{1}{r^2}\right)+\pi\cdot2r$ gleich $0$.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}A'(r)&=&0\\2V\cdot\left(-\frac{1}{r^2}\right)+\mathrm{\pi}\cdot2r&=&0\\-\frac{2V}{r^2}+\mathrm{\pi}\cdot2r&=&0&|+\frac{2V}{r^2}\\2\pi r&=&\frac{2V}{r^2}&|\cdot r^2\\2\pi r^3&=&2V&|:2\pi\\r^3&=&\frac V\pi&|\sqrt[3]{}\\r&=&\sqrt[3]{\frac V \pi}\end{array}$

Einsetzen in die 2. Ableitung ergibt:

Also liegt tatsächlich ein Minimum vor an dieser Stelle.

Lösung

Den minimale Oberflächeninhalt erhält man für die Dose mit dem Radius $\mathrm{r}_{\min}=\sqrt[3]{\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{\pi}}}$ . Also ist der Durchmesser $\mathrm d=2\mathrm r=2\sqrt[3]{\frac{\mathrm V}{\mathrm\pi}}$ . Die Höhe h erhält man aus der Nebenbedingung $h=\frac V{r^2\cdot\mathrm\pi}$ durch einsetzen von $\mathrm{r}_{\min}$ , also 

Der minimale Oberflächeninhalt ist $3\mathrm\pi\cdot\left(\sqrt[3]{\frac{\mathrm V}{\mathrm\pi}}\right)^2$ (Einsetzen in die Zielfunktion.)

Für die Form eines romanischen Fensters (Rechteck mit oben angefügtem Halbkreis) soll bei gegebenem Umfang die größtmögliche Fläche berechnet werden.

Der gegebene Umfang $u=5\,LE$ ist für die Zielfunktion die "Nebenbedingung".

$\begin {array} {r c l l}2a+b+\dfrac 12 b\pi&=&5&|\,\text{b ausklammern}\\2a+b(1+\dfrac 12 \pi)&=&5&|-\,b( …)\\2a&=&5-b(1+ \dfrac 12\pi)&|\;:2\\a&=&2{,}5-\dfrac 12 b(1+\dfrac 12 \pi)&\text{Setze a in A(a;b) ein.}\end{array}$

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}A(\color{red}{b})&=&\color{red}{(}2{,}5-\dfrac12 b(1+\dfrac 12 \pi)\color{red}{)}\cdot b+ \dfrac 12\cdot (\dfrac {b}{2})^2\pi\\ &=&2{,}5b-\dfrac 12b^2(1+\dfrac12\pi)+\dfrac18b^2\pi&|\,\text{D-Gesetz für}\;\dfrac12b^2(1+\dfrac12\pi)\\ &=&2{,}5b-\dfrac12b^2-\dfrac14b^2\pi+\dfrac18b^2\pi&|\;b^2\,\text{zusammenfassen}\\&=&2{,}5b-b^2(\dfrac12+\dfrac14\pi-\dfrac18\pi)&|\text{zusammenfassen}\\A(b)&=&2{,}5b-(\dfrac12+\dfrac18\pi)b^2&|\,\text{Berechne A'(b) und A''(b)}.\end{array}$

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcll}2{,}5-b(1+\dfrac14\pi)&=&0\\\displaystyle b\cdot\dfrac{4+\pi}{4}&=&2{,}5&|\;:\displaystyle \dfrac{4+\pi}{4}\\ b_{max}&=&\displaystyle \dfrac{10}{4+\pi}&\Rightarrow\end{array}$

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcll}a_{max}&=&\displaystyle 2{,}5-\dfrac12\color{red}{(\dfrac{10}{4+\pi})}(1+\dfrac12\pi)\\&=&\displaystyle 2{,}5-\dfrac{5}{4+\pi}\cdot\dfrac{2+\pi}{2}\\&=&\displaystyle 2{,}5-2{,}5\cdot \dfrac{2+\pi}{4+\pi}\\&=&\displaystyle \dfrac{2{,}5\cdot (4+\pi)-2{,}5\cdot (2+\pi)}{4+\pi}\\a_{max}&=&\displaystyle \dfrac{5}{4+\pi}\end{array}$

Setze $b_{max}$ und $a_{max}$ in $A(a;b)$ ein, um die maximale Fläche des romanischen Fensters mit dem Umfang $5\,LE$ zu erhalten.

(Du kannst auch $b_{max}$ alleine in $A(b)$ einsetzen.)

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcll}A_{max}&=&\displaystyle \dfrac{5}{4+\pi}\cdot \dfrac{10}{4+\pi}+\dfrac12 \cdot \left(\dfrac{5}{4+\pi}\right)^2\cdot \pi\\&=&\displaystyle\dfrac{50}{(4+\pi)^2}+\dfrac{25\pi}{2\cdot (4+\pi)^2}\\&=&\displaystyle \dfrac{100+25\pi}{2(4+\pi)^2}\\&=&\displaystyle \dfrac{25(4+\pi)}{2(4+\pi)^2}\\A_{max}&=&\displaystyle \dfrac{12{,}5}{4+\pi}\\A_{max}&\approx&1{,}75\end{array}$

Ergebnis:

Das romanische Fenster mit dem Umfang $5\,LE$ hat seine größte Fläche von rund $1{,}75\,FE$, wenn die Grundseite gerade doppelt so groß ist wie die Höhe des Rechtecks.

Anhand des beigefügten Applets kannst du durch Verschieben des unteren rechten Eckpunkts das Ergebnis überprüfen.

Lösung zu a) mit Scheitelpunktsbestimmung

$A(x) = - 0{,}5 x^2 +20x$

Der Koeffizient vor dem $x^2$ ist negativ , somit handelt es sich um eine nach unten geöffnete Parabel. Der Scheitelpunkt ist ein Maximum.

Wir ermitteln die Scheitelpunktsform durch quadratische Ergänzung .

Klammere zuerst $(-0{,}5)$ aus:  $A(x) = (-0{,}5)\cdot (x^2 - 40x)$

Der gemischte Term in der Klammer ist $- 40x$, d.h. die quadratische

Ergänzung ist $(\dfrac{40}{2})^2 = 20^2$.

Addiere in der Klammer $20^2$ und subtrahiere diesen Term gleich wieder: 

$A(x) = (-0{,}5)\cdot (x^2 - 40x + 20^2 -20^2)$

Fasse die ersten drei Terme in der Klammer mit Hilfe der 2. binomischen Formel zusammen: $$ $A(x) = (-0{,}5)\cdot ((x - 20)^2 -20^2)$

Löse die Klammer wieder auf:

$A(x) = (-0{,}5)\cdot (x - 20)^2+(-0{,}5)\cdot(-20^2)=(-0{,}5)\cdot (x - 20)^2+200$Lies den Scheitelpunkt ab: $S(20\vert 200)$

Antwort: Die Länge des waagrechten Zaunstückes beträgt$x= 20\, \mathrm{m}$

und der maximale Flächeninhalt $200\, \mathrm{m^2}$.

Es fehlt noch die Angabe der Zaunlänge $y$.

Setze $x=20$ in $y = 20-0{,}5\cdot x$ ein.

$y = 20-0{,}5\cdot 20 =20-10 = 10$.

Antwort: Die Länge des senkrechten Zaunstückes beträgt $10\, \mathrm{m}$.

Lösung zu b) mit der Ableitung

$$

$A(x) = - 0{,}5 x^2 +20x$

Der Definitionsbereich der Variablen $x$ ist das Intervall $0\lt x\lt40$.

Für $x=0$  und für $x=40$ erhält man ein "entartetes" Rechteck (mit dem Flächeninhalt $0\,\mathrm{m^2}$), d.h. eine Strecke der Länge $40\, \mathrm{m}$.

Bedingung für ein Maximum: $A'(x) = 0$ und $$ $A''(x) \lt 0$

Die beiden Ableitungen lauten:

$A'(x) = - x +20$

$A''(x) = -1< 0$

Setze $A'(x)$ gleich Null: $0 = - x +20 \Rightarrow x=20$         

$x=20$ ist im Definitionsbereich von $$$A(x)$enthalten.

Da $A''(x)<0_{ }$ ist, handelt es sich um ein Maximum.

Es fehlt noch die Angabe der zweiten Zaunlänge $y$.

Setze $x=20$ in $y = 20-0{,}5\cdot x$ ein: $$$y=20-0{,}5\cdot 20 = 20-10 = 10$

Nun kann die maximale Fläche berechnet werden: $A = x\cdot y=20\cdot 10 = 200.$

Antwort: Die Länge des waagrechten Zaunstückes beträgt $x= 20\, \mathrm{m}$, die Länge des senkrechten Zaunstückes $y$ ist $10\, \mathrm{m}$ und der maximale Flächeninhalt beträgt $200\, \mathrm{m}^2$.

Hauptbedingung:

$A=a\cdot b$ beschreibt die Fläche des Rechtecks, die maximiert werden muss.

Nebenbedingung:

Die umgeformte Nebenbedingung wird in die Hauptbedingung eingesetzt. Wir erhalten die Zielfunktion:

$A$ beschreibt eine nach unten geöffnete Normalparabel mit den Nullstellen $a_1=0$ und $a_2=60$. Zwischen den Nullstellen liegt der Scheitel bei $a=30$.

$A(30)=30\cdot(60-30)=900\m^2$

Wird die Seitenlänge des Rechtecks $30\m$ gewählt, ist der eingezäunte Flächeninhalt maximal mit $900\m^2$.