Teillösung a)

Volumen von Nishs Schultüte

Nish hat einen Kreissektor mit dem Mittelpunktswinkel $φ = 60 ^\circ$ ausgeschnitten, d.h. der Radius seiner Schultüte beträgt:

Da $R=50 \mathrm{cm}$ ist, beträgt sein Kegelradius: $r = \dfrac {50}{6}\mathrm{cm}$.

Setzt man $r$ und $h$ in Gleichung $\mathrm{(I)}$ ein, ergibt sich ein Volumen von:

$V= \dfrac{1}{3}\pi\cdot (\dfrac{50}{6})^2\cdot \dfrac{50}{6} \cdot \sqrt{35} \approx 3585{,}25 \mathrm{cm^3}$

Volumen von Janas Schultüte

Jana hat einen Kreissektor mit dem Mittelpunktswinkel $φ = 120 ^\circ$ ausgeschnitten, d.h. der Radius ihrer Schultüte beträgt:

$r=\dfrac{R \cdot 120^\circ}{360^\circ}= \dfrac {R}{3}$

Da $R= 50 \mathrm{cm}$ ist, beträgt ihr Kegelradius :

Für die Höhe $h$ erhält man gemäß Gleichung $\mathrm{(IV)}$:

Setzt man $r$ und $h$ in Gleichung $\mathrm{(I)}$ ein, ergibt sich ein Volumen von:

$V= \dfrac{1}{3}\pi\cdot (\dfrac{50}{3})^2\cdot \dfrac{50}{3} \cdot \sqrt{8} \approx 13712{,}60 \mathrm{cm^3}$

Antwort

Jana liegt falsch. Ihr Kegelvolumen ist rund viermal so groß wie das Kegelvolumen von Nish.

Teillösung b)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwert

Aufstellen der Zielfunktion und der Nebenbedingung

Die Zielfunktion bei dieser Aufgabe ist das Volumen eines Kegels:

Die Nebenbedingung ergibt sich aus der obigen rechten Abbildung.

Im rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras:

Einsetzen in die Zielfunktion

Die einfachste Lösung der Extremwertaufgabe erhält man, wenn Gleichung $\mathrm{(III)}$ nach $r^2$ aufgelöst und in Gleichung $\mathrm{(I)}$ eingesetzt wird. Mit $R= 50 \mathrm{cm}$ folgt:

Für den Definitionsbereich $\mathbb{D}$ gilt: $0\lt h\lt 50$.

Anmerkung: Für $h=0$ und $h=50$ ist das Volumen gleich Null.

Bestimmung des Extremwertes

Leite die Extremalfunktion $\mathrm{(V)}$ zweimal ab, um den Extremwert und die Art des Extremwertes bestimmen zu können.

Setze die erste Ableitung gleich Null:

Nach $h$ aufgelöst erhält man :

Da $0 \lt h \lt 50$ ist, gilt: $h \in \mathbb{D}$.

Setze Gleichung $\mathrm{(VI)}$ in die zweite Ableitung ein:

Da die zweite Ableitung kleiner Null ist, ist der Extremwert ein Maximum.

Bestimmung des Kegelgrundkreisradius

Setzt man Gleichung $\mathrm{(VI)}$ $h=\sqrt{\dfrac{2500}{3}}$ in $r^2=50^2-h^2$ ein,

so erhält man:

Zieht man die Wurzel aus $r^2$, so erhält man für den Radius $r$ des Grundkreises des Kegels : $r= \sqrt{\dfrac{5000}{3}}\approx 40{,}82 \mathrm{cm} \;\;\;\; \mathrm{(VII)}$

Bestimmung des Mittelpunktswinkels

Löse Gleichung $\mathrm{(II)}$ nach $\varphi$ auf:

Mit $R=50\mathrm{cm}$ und $r= \sqrt{\dfrac{5000}{3}} \mathrm{cm}$ folgt für $\varphi$: $\varphi =\dfrac{\sqrt{\dfrac{5000}{3}}\cdot 360^\circ}{50}\approx 293{,}94^ \circ$

Das maximale Volumen

Setzt man die Gleichungen $\mathrm{(VI)}$ und $\mathrm{(VII)}$ in Gleichung $\mathrm{(I)}$ ein, so erhält man das maximale Volumen

für einen Radius von $R= 50 \mathrm{cm}$:

$V_{max}=\dfrac{1}{3}\cdot\pi\cdot \dfrac{5000}{3}\cdot \sqrt{\dfrac{2500}{3}} \approx 50383{,}32 \mathrm{cm^3}$

Antwort

Das maximale Volumen $V_{max}$ der Schultüte beträgt in etwa $50383{,}32 \mathrm{cm^3}$ bei einem Radius des Grundkreises des Kegels von $r= \sqrt{\dfrac{5000}{3}}\approx 40{,}82 \mathrm{cm}$ und einer Kegelhöhe von

$h=\sqrt{\dfrac{2500}{3}} \approx 28{,}87 \mathrm{cm}$. Der Mittelpunktswinkel muss dafür $\varphi \approx 293{,}94^\circ$ betragen.

Lina muss also einen Kreissektor mit dem Mittelpunktswinkel $\varphi \approx 293{,}94^\circ$ herausschneiden, um die größte Schultüte zu basteln.

Teillösung c)

Die Schultüten von Jana, Nish und Lina haben folgende Maße:

Bei üblichen Schultüten findet man Verhältnisse von Durchmesser zu Höhe von $1:2; 1:3$ bis $1:4$.

Betrachtet man die gebastelten Schultüten, so hat die Tüte von Nish ein Verhältnis von Durchmesser zu Höhe von etwa $1:3$, d.h. seine Tüte passt am besten zu den obigen Verhältnissen. Janas Tüte hat ein Verhältnis von $1:1{,}5$ d.h. ihre Tüte ist etwas zu breit im Vergleich zur Höhe.

Linas Tüte hat ein Verhältnis von Durchmesser zu Höhe von etwa $2{,}8:1$. Ihre Tüte ist sehr breit im Vergleich zur Höhe. Dadurch lässt sich die Schultüte schwer in der Hand halten. Lina könnte dadurch wertvolle Süßigkeiten verlieren. Daher findet man beim Kauf eher längliche Schultüten.