Gegeben: Gesamtkantenlänge, eine Kante dreimal so lang wie eine andere Kante

Gesucht: Kantenlänge so, dass Volumen maximal

Stelle die Volumenfunktion des Quaders  mit den Kanten $a$, $b$ und $c$ auf; das ist die Zielfunktion, die es zu maximieren gilt.

$V=a\cdot b\cdot c$

Bestimme die Nebenbedingung, welche durch die Gesamtkantenlänge und die Tatsache, dass eine Kante dreimal so lang wie eine andere Kante sein soll, gegeben ist. Wähle dabei z. B. b=3a.

$4\cdot a+4\cdot3\cdot a+4\cdot c=120$

Stelle die Nebenbedingung um.

$c=30-4a$

Setze die Nebenbedingung in die Zielfunktion ein und erhalte die Extremalfunktion. Beachte dabei, dass negative Längen keinen Sinn machen.

$V(a)=3\cdot a^2\cdot(30-4a)$  mit  $a>0$

Leite die Extremalfunktion zweimal ab, um im nächsten Schritt den Extremwert und die Art des Extremwertes bestimmen zu können.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccc}V'(a)&=&180a-36a^2\\V''(a)&=&180-72a\end{array}$

Setze die erste Ableitung gleich Null und setze die Lösung dieser Gleichung in die zweite Ableitung ein. Du erkennst dann, dass der Extremwert tatsächlich wie gewünscht ein Maximum ist.

$V'(a)=0$

$a=5$

$V''(5)=-180<0$

Berechne nun noch die Kantenlängen $b$ und $c$.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;a=5\\\Rightarrow b\;=3\cdot5=15\\\Rightarrow c\;=30-4\cdot5=10\end{array}$

Kante $a$ ist $5cm$, Kante $b$ $15cm$ und Kante $c$ $10cm$ zu wählen.