Gegeben: Gesamtkantenlänge, eine Kante dreimal so lang wie eine andere Kante

Gesucht: Kantenlänge so, dass Volumen maximal

Stelle die Volumenfunktion des Quaders  mit den Kanten $aa$, $bb$ und $cc$ auf; das ist die Zielfunktion, die es zu maximieren gilt.

$V=a\cdot b\cdot cV=a\backslash cdot\; b\backslash cdot\; c$

Bestimme die Nebenbedingung, welche durch die Gesamtkantenlänge und die Tatsache, dass eine Kante dreimal so lang wie eine andere Kante sein soll, gegeben ist. Wähle dabei z. B. b=3a.

$4\cdot a+4\cdot 3\cdot a+4\cdot c=1204\backslash cdot\; a+4\backslash cdot3\backslash cdot\; a+4\backslash cdot\; c=120$

Stelle die Nebenbedingung um.

$c=30-4ac=30-4a$

Setze die Nebenbedingung in die Zielfunktion ein und erhalte die Extremalfunktion. Beachte dabei, dass negative Längen keinen Sinn machen.

$V(a)=3\cdot a^2\cdot (30-4a)V(a)=3\backslash cdot\; a^2\backslash cdot(30-4a)$  mit  $a>0a>0$

Leite die Extremalfunktion zweimal ab, um im nächsten Schritt den Extremwert und die Art des Extremwertes bestimmen zu können.

Setze die erste Ableitung gleich Null und setze die Lösung dieser Gleichung in die zweite Ableitung ein. Du erkennst dann, dass der Extremwert tatsächlich wie gewünscht ein Maximum ist.

$V^{\mathrm{\prime }}(a)=0V\text{'}(a)=0$

$a=5a=5$

Berechne nun noch die Kantenlängen $bb$ und $cc$.

$\begin{array}{c}a=5\\ \Rightarrow b=3\cdot 5=15\\ \Rightarrow c=30-4\cdot 5=10\end{array}\backslash def\backslash arraystretch\{1.25\}\; \backslash begin\{array\}\{l\}\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;a=5\backslash \backslash \backslash Rightarrow\; b\backslash ;=3\backslash cdot5=15\backslash \backslash \backslash Rightarrow\; c\backslash ;=30-4\backslash cdot5=10\backslash end\{array\}$

Kante $aa$ ist $5cm5cm$, Kante $bb$ $15cm15cm$ und Kante $cc$ $10cm10cm$ zu wählen.