Wir suchen aus allen Konservendosen mit Volumen V diejenige mit minimalem Oberflächeninhalt.

Volumenformel: $\mathrm{V}=\mathrm{G}\cdot \mathrm{h}\backslash mathrm\; V=\backslash mathrm\; G\backslash cdot\backslash mathrm\; h$ (Grundseite mal Höhe) wobei die Grundseite eines Zylinders ein Kreis ist, d.h. ${\mathrm{G}}_{\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s}}={\mathrm{r}}^2\cdot \pi \{\backslash mathrm\; G\}\_\backslash mathrm\{Kreis\}=\backslash mathrm\; r^2\backslash cdot\backslash mathrm\backslash pi$ .

Oberflächeninhalt eines Zylinders ist gegeben durch ${\mathrm{A}}_{\mathrm{Z}\mathrm{y}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}}=A_{Mantel}+A_{Kreis}=2\cdot \mathrm{r}\cdot \pi \cdot \mathrm{h}+{\mathrm{r}}^2\cdot \pi \{\backslash mathrm\; A\}\_\backslash mathrm\{Zylinder\}=A\_\{Mantel\}+A\_\{Kreis\}=2\backslash cdot\backslash mathrm\; r\backslash cdot\backslash mathrm\backslash pi\backslash cdot\backslash mathrm\; h+\backslash mathrm\; r^2\backslash cdot\backslash mathrm\backslash pi$ .

1. Zielfunktion bestimmen: Der Oberflächeninhalt des Zylinders ist zu minimieren. Unsere Funktion ist von r und h abhängig. ${\mathrm{A}}_{\mathrm{Z}\mathrm{y}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}}=2\cdot \mathrm{r}\cdot \pi \cdot \mathrm{h}+{\mathrm{r}}^2\cdot \pi \{\backslash mathrm\; A\}\_\backslash mathrm\{Zylinder\}=2\backslash cdot\backslash mathrm\; r\backslash cdot\backslash mathrm\backslash pi\backslash cdot\backslash mathrm\; h+\backslash mathrm\; r^2\backslash cdot\backslash mathrm\backslash pi$ .

2. Nebenbedingungen formulieren und einsetzen: Der Oberflächeninhalt des Zylinders ist zu minimieren unter der Bedingung, dass das Volumen erhalten bleibt. Wir können nun also die Höhe in Abhängkeit vom Radius ermitteln, indem wir die Formel $\mathrm{V}={\mathrm{G}}_{\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s}}\cdot \mathrm{h}={\mathrm{r}}^2\cdot \pi \cdot \mathrm{h}\backslash mathrm\; V=\{\backslash mathrm\; G\}\_\backslash mathrm\{Kreis\}\backslash cdot\backslash mathrm\; h=\backslash mathrm\; r^2\backslash cdot\backslash mathrm\backslash pi\backslash cdot\backslash mathrm\; h$ nach h auflösen. Es ergibt sich die Nebenbedingung $h=\frac{V}{r^2\cdot \pi }h=\backslash frac\; V\{r^2\backslash cdot\backslash mathrm\backslash pi\}$ . Einsetzen in die Zielfunktion ergibt: $\mathrm{A}=2\cdot \mathrm{r}\cdot \pi \cdot \left({\displaystyle \frac{\mathrm{V}}{{\mathrm{r}}^2\cdot \pi }}\right)+r^2\cdot \pi =2\cdot \frac{V}{r}+r^2\cdot \pi =2V\cdot \frac{1}{r}+\pi \cdot {\mathrm{r}}^2\backslash mathrm\; A=2\backslash cdot\backslash mathrm\; r\backslash cdot\backslash mathrm\backslash pi\backslash cdot\{\backslash textstyle\backslash left(\{\backslash displaystyle\backslash frac\{\backslash mathrm\; V\}\{\backslash mathrm\; r^2\backslash cdot\backslash mathrm\backslash pi\}\}\backslash right)\}+r^2\backslash cdot\backslash mathrm\backslash pi=2\backslash cdot\backslash frac\; Vr+r^2\backslash cdot\backslash mathrm\backslash pi=2V\backslash cdot\backslash frac1r+\backslash mathrm\backslash pi\backslash cdot\backslash mathrm\; r^2$ . Unsere Zielfunktion hängt jetzt nur noch von r ab, also können wir auch schreiben $\mathrm{A}(\mathrm{r})=2\mathrm{V}\cdot \frac{1}{\mathrm{r}}+\pi \cdot {\mathrm{r}}^2\backslash mathrm\; A(\backslash mathrm\; r)=2\backslash mathrm\; V\backslash cdot\backslash frac1\{\backslash mathrm\; r\}+\backslash mathrm\backslash pi\backslash cdot\backslash mathrm\; r^2$ .

3. Für die Extremalfunktion $\mathrm{A}(\mathrm{r})\backslash mathrm\; A(\backslash mathrm\; r)$ den Definitionsbereich ${\mathbb{D}}_{\mathrm{A}}\backslash mathbb\{D\}\_\backslash mathrm\; A$ bestimmen: ${\mathbb{D}}_A=\mathbb{R}\mathrm{\backslash }\{0\}\backslash mathbb\; \{D\}\_A=\backslash mathbb\{R\}\backslash backslash\backslash \{0\backslash \}$. Allerdings muss r > 0 sein.

4.  Wir suchen das Minimum von $\mathrm{A}(\mathrm{r})\backslash mathrm\; A(\backslash mathrm\; r)$ mit Hilfe der ersten und zweiten Ableitung.

Für ein mögliches Minimum muss die erste Ableitung gleich Null werden. Setze also $A^{\mathrm{\prime }}\left(r\right)=2V\cdot (-\frac{1}{r^2})+\pi \cdot 2rA\text{'}\backslash left(r\backslash right)=2V\backslash cdot\backslash left(-\backslash frac\{1\}\{r^2\}\backslash right)+\backslash pi\backslash cdot2r$ gleich $00$.

Einsetzen in die 2. Ableitung ergibt:

Also liegt tatsächlich ein Minimum vor an dieser Stelle.

Lösung

Den minimale Oberflächeninhalt erhält man für die Dose mit dem Radius ${\mathrm{r}}_{\min }=\sqrt[3]{\frac{\mathrm{V}}{\pi }}\backslash mathrm\{r\}\_\{\backslash min\}=\backslash sqrt[3]\{\backslash frac\{\backslash mathrm\{V\}\}\{\backslash mathrm\{\backslash pi\}\}\}$ . Also ist der Durchmesser $\mathrm{d}=2\mathrm{r}=2\sqrt[3]{\frac{\mathrm{V}}{\pi }}\backslash mathrm\; d=2\backslash mathrm\; r=2\backslash sqrt[3]\{\backslash frac\{\backslash mathrm\; V\}\{\backslash mathrm\backslash pi\}\}$ . Die Höhe h erhält man aus der Nebenbedingung $h=\frac{V}{r^2\cdot \pi }h=\backslash frac\; V\{r^2\backslash cdot\backslash mathrm\backslash pi\}$ durch einsetzen von ${\mathrm{r}}_{\min }\backslash mathrm\{r\}\_\{\backslash min\}$ , also 

Der minimale Oberflächeninhalt ist $3\pi \cdot {\left(\sqrt[3]{\frac{\mathrm{V}}{\pi }}\right)}^{2}3\backslash mathrm\backslash pi\backslash cdot\backslash left(\backslash sqrt[3]\{\backslash frac\{\backslash mathrm\; V\}\{\backslash mathrm\backslash pi\}\}\backslash right)^2$ (Einsetzen in die Zielfunktion.)