$B(n;p;k)$ misst die Wahrscheinlichkeit von genau $k$ Treffern einer Bernoullikette der Länge $n$ mit der Trefferwahrscheinlichkeit $p$.

Zu jeweils $k$ Treffern gehören $n-k$ Nieten mit der Nietenwahrscheinlichkeit $q=1-p$.

Die Wahrscheinlichkeit für jedes $k\in\{0;1;2;…;n\}$ genau $n-k$ Nieten zu erhalten ist aber gleich $B(n;q;n-k)$.

Unnötig umständlich und zeitraubend kannst du die Behauptung auch wie folgt rechnerisch begründen:

Beginne mit der Berechnung der Wahrscheinlichkeit für genau $\color{red}{n-k}$ "Treffern" bei der "Treffer"-wahrscheinlichkeit $\color{red}{1-p}$.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}B(n;\color{red}{1-p};{\color{red}n-k})&=&\binom{n}{n-k}\cdot (1-p)^{n-k}\cdot [1-(1-p)]^{n-(n-k)}\\&=&\binom{n}{n-k}\cdot (1-p)^{n-k}\cdot p^k\\&=&\binom{n}{n-k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}\\&=&\binom{{\color{red}n}}{{\color{red} k}}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\\&{=}&B(n;p;k)\end{array}$

Die Symmetrieeigenschaft der Binomialkoeffizienten zeigst du so:

$\displaystyle \binom{n}{k}=\displaystyle \frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}$

$\displaystyle \binom{n}{n-k}=\frac{n!}{(n-k)!\cdot {[n-(n-k)]!}}=\frac{n!}{k!\cdot(n-k)!}=\binom{n}{k}$