Stochastik, Teil A, Aufgabengruppe 1

In dieser Aufgabe musst du Wahrscheinlichkeiten von mehrstufigen Zufallsexperimenten am Beispiel eines Glücksrades berechnen.

Wie die Zahlen den Sektoren zugeordnet sind, ist unerheblich.

Der Ergebnisraum des einmaligen Drehens des Glücksrads ist $\Omega=\{0;1;2;9\}$

Die obenstehende Graphik ist ein Beispiel, bei dem gerade das Ergebnis $0$ eingetreten ist.

Für die Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse beim einmaligen Drehen erhältst du dann:

$P(0)=P(1)=P(2)=\displaystyle \frac15 \;\text{und}\;P(9)=\frac25.$

Lösung der Teilaufgabe a)

Lösung Teilaufgabe b)

Die Zufallsgröße $X$ erfasst du mit folgender Tafel:

Du hast also die beiden Unbekannten $a,b$, mit $P(X=1)=a$ und $P(X=4)=b$ und benötigst zwei Bedingungen, um sie mithilfe eines linearen Gleichungssystems zu berechnen.

Eine Gleichung ergibt der gegebene Erwartungswert $E(X)$ von $X$.

$E(X)=1\cdot a + 4\cdot b+9\cdot 0{,}2+16\cdot 0{,}1=5$

$\Rightarrow\quad\quad a+4b=1{,}6$

Die zweite Gleichung liefert die Bedingung, dass die Summe aller einzelnen Wahrscheinlichkeiten der Verteilung von $X$ den Wert 1 ergibt.

$\Rightarrow\quad \quad a+b+0{,}2+0{,}1=1$

$\quad \quad\quad a+b =0{,}7$

Damit hast du folgendes Gleichungssystem zu lösen:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcll}\mathrm{I}&a+4b&=&1{,}6\\\mathrm{II}&a+b&=&0{,}7&|\;\mathrm{I-II}\\\mathrm{I}-\mathrm{II}&3b&=&0{,}9&|\;:3\\&b&=&0{,}3&|\;b \;\text{in}\;\mathrm{I}\\&a+4\cdot 0{,}3&=&1{,}6&|\;-1{,}2\\&a&=&0{,}4\end{array}$

Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit $P(X=1)$ ist $0{,}4$. Die Wahrscheinlichkeit $P(X=4)$ ist $0{,}3$.

$B(n;p;k)$ misst die Wahrscheinlichkeit von genau $k$ Treffern einer Bernoullikette der Länge $n$ mit der Trefferwahrscheinlichkeit $p$.

Zu jeweils $k$ Treffern gehören $n-k$ Nieten mit der Nietenwahrscheinlichkeit $q=1-p$.

Die Wahrscheinlichkeit für jedes $k\in\{0;1;2;…;n\}$ genau $n-k$ Nieten zu erhalten ist aber gleich $B(n;q;n-k)$.

Unnötig umständlich und zeitraubend kannst du die Behauptung auch wie folgt rechnerisch begründen:

Beginne mit der Berechnung der Wahrscheinlichkeit für genau $\color{red}{n-k}$ "Treffern" bei der "Treffer"-wahrscheinlichkeit $\color{red}{1-p}$.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}B(n;\color{red}{1-p};{\color{red}n-k})&=&\binom{n}{n-k}\cdot (1-p)^{n-k}\cdot [1-(1-p)]^{n-(n-k)}\\&=&\binom{n}{n-k}\cdot (1-p)^{n-k}\cdot p^k\\&=&\binom{n}{n-k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}\\&=&\binom{{\color{red}n}}{{\color{red} k}}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\\&{=}&B(n;p;k)\end{array}$

Die Symmetrieeigenschaft der Binomialkoeffizienten zeigst du so:

$\displaystyle \binom{n}{k}=\displaystyle \frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}$

$\displaystyle \binom{n}{n-k}=\frac{n!}{(n-k)!\cdot {[n-(n-k)]!}}=\frac{n!}{k!\cdot(n-k)!}=\binom{n}{k}$