Die Zufallsgröße $X$ erfasst du mit folgender Tafel:

Du hast also die beiden Unbekannten $a,b$, mit $P(X=1)=a$ und $P(X=4)=b$ und benötigst zwei Bedingungen, um sie mithilfe eines linearen Gleichungssystems zu berechnen.

Eine Gleichung ergibt der gegebene Erwartungswert $E(X)$ von $X$.

$E(X)=1\cdot a+4\cdot b+9\cdot \mathrm{0,2}+16\cdot \mathrm{0,1}=5$

$\Rightarrow a+4b=\mathrm{1,6}$

Die zweite Gleichung liefert die Bedingung, dass die Summe aller einzelnen Wahrscheinlichkeiten der Verteilung von $X$ den Wert 1 ergibt.

$\Rightarrow a+b+\mathrm{0,2}+\mathrm{0,1}=1$

$a+b=\mathrm{0,7}$

Damit hast du folgendes Gleichungssystem zu lösen:

$\begin{array}{rrcl}\mathrm{I}& a+4b& =& \mathrm{1,6}\\ \mathrm{II}& a+b& =& \mathrm{0,7}& |\mathrm{I}-\mathrm{I}\mathrm{I}\\ \mathrm{I}-\mathrm{II}& 3b& =& \mathrm{0,9}& |:3\\ & b& =& \mathrm{0,3}& |b\text{in}\mathrm{I}\\ & a+4\cdot \mathrm{0,3}& =& \mathrm{1,6}& |-\mathrm{1,2}\\ & a& =& \mathrm{0,4}\end{array}$

Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit $P(X=1)$ ist $\mathrm{0,4}$. Die Wahrscheinlichkeit $P(X=4)$ ist $\mathrm{0,3}$.