Die Zufallsgröße $X$ erfasst du mit folgender Tafel:

Du hast also die beiden Unbekannten $a,b$, mit $P(X=1)=a$ und $P(X=4)=b$ und benötigst zwei Bedingungen, um sie mithilfe eines linearen Gleichungssystems zu berechnen.

Eine Gleichung ergibt der gegebene Erwartungswert $E(X)$ von $X$.

$E(X)=1\cdot a + 4\cdot b+9\cdot 0{,}2+16\cdot 0{,}1=5$

$\Rightarrow\quad\quad a+4b=1{,}6$

Die zweite Gleichung liefert die Bedingung, dass die Summe aller einzelnen Wahrscheinlichkeiten der Verteilung von $X$ den Wert 1 ergibt.

$\Rightarrow\quad \quad a+b+0{,}2+0{,}1=1$

$\quad \quad\quad a+b =0{,}7$

Damit hast du folgendes Gleichungssystem zu lösen:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcll}\mathrm{I}&a+4b&=&1{,}6\\\mathrm{II}&a+b&=&0{,}7&|\;\mathrm{I-II}\\\mathrm{I}-\mathrm{II}&3b&=&0{,}9&|\;:3\\&b&=&0{,}3&|\;b \;\text{in}\;\mathrm{I}\\&a+4\cdot 0{,}3&=&1{,}6&|\;-1{,}2\\&a&=&0{,}4\end{array}$

Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit $P(X=1)$ ist $0{,}4$. Die Wahrscheinlichkeit $P(X=4)$ ist $0{,}3$.