Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung
Ermittle die Vorzeichenbereiche für den folgenden Funktionsterm:
Um den Vorzeichenbereich ermitteln zu können, musst du zuerst die Nullstellen berechnen.
Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. 1 in f ( x ) ein.
Die Funktion f ( x ) hat an der Stelle x 1 = 1 eine Nullstelle. Da f ( 1 ) = 0 , wissen wir, dass f ( x ) den dazugehörigen Linearfaktor ( x − 1 ) besitzt.
( x 3 − 3 x 2 + 2 ) : ( x − 1 ) = x 2 − 2 x − 2 − ( x 3 − x 2 ) − 2 x 2 + 2 − ( − 2 x 2 + 2 x ) − 2 x + 2 − ( − 2 x + 2 ) 0
Die Funktion f ( x ) wird dann 0 , sobald mindestens einer der Faktoren gleich 0 ist. Da die Nullstelle x 1 = 1 bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von f bestimmen, indem du das erhaltene Polynom gleich 0 setzt.
Setze die entsprechenden Werte in die Mitternachtsformel ein.
↓ x 2,3 = − ( − 2 ) ± ( − 2 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 2 ) 2 ⋅ 1 x 2,3 = 2 ± 12 2 x 2,3 = 2 ± 3 ⋅ 4 2 x 2,3 = 2 ± 2 ⋅ 3 2 x 2,3 = 1 ± 3 x 2 = 2,732 x 3 = − 0,732
Die Nullstellen sind also: x 1 = 1 ; x 2 = 2,732 ; x 3 = − 0,732
Es ergeben sich 4 Vorzeichenbereiche:
a . ) ] − ∞ ; − 0,732 [ b . ) ] − 0,732 ; 1 [ c . ) ] 1 ; 2,732 [ d . ) ] 2,732 ; ∞ [
Jetzt musst du dir, für jeden Bereich, das Vorzeichen von f ( x ) überlegen.
Setze eine Zahl, die im jeweiligen Bereich liegt, in f ( x ) ein.
a.) z. B. ( − 1 ) ⇒ f ( − 1 ) = − 1 ; V o r z e i c h e n ( − )
b.) z. B. ( 0 ) ⇒ f ( 0 ) = 2 ; V o r z e i c h e n ( + )
c.) z. B. ( 2 ) ⇒ f ( 2 ) = 4 ; V o r z e i c h e n ( − )
d.) z. B. ( 3 ) ⇒ f ( 3 ) = 2 ; V o r z e i c h e n ( + )