Ermittle die Vorzeichenbereiche für den folgenden Funktionsterm:

$f\left(x\right)=x^3-3x^2+2$

Um den Vorzeichenbereich ermitteln zu können, musst du zuerst die Nullstellen berechnen.

Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. $1$ in $f(x)$ ein.

$f(1)=1^3-3\cdot1^2+2=0$

Die Funktion $f(x)$ hat an der Stelle $x_1=1$ eine Nullstelle. Da $f(1)=0$, wissen wir, dass $f(x)$ den dazugehörigen Linearfaktor $(x-1)$ besitzt.

Führe nun die Polynomdivision $f(x):(x-1)$ durch.

$\ \ \ (x^3-3x^2+2):(x-1)=x^2-2x-2\\\underline{-(x^3-x^2)}\\\ \qquad-2x^2+2\\\quad\underline{-(-2x^2+2x)}\\\\\quad\qquad\qquad-2x+2\\\qquad\qquad\underline{-(-2x+2)}\\\\\qquad\qquad\qquad\qquad0$

Die Funktion $f(x)$ wird dann $0$, sobald mindestens einer der Faktoren gleich $0$ ist. Da die Nullstelle $x_1=1$ bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von $f$ bestimmen, indem du das erhaltene Polynom gleich $0$ setzt.

$x^2-2x-2\ =\ 0$

Löse die quadratische Gleichung mit Hilfe der Mitternachtsformel.

$x_{1{,}2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Die Nullstellen sind also: $x_{1}=1\ ;\quad x_2{}=2{,}732\ ;\quad x_{3}=-0{,}732$

Es ergeben sich $4$ Vorzeichenbereiche:

$a.)\textbf{]}-\infty;\ -0{,}732\textbf{[}\quad b.)\textbf{]}-0{,}732;\ 1\textbf{[}\quad c.)\textbf{]}1;\ 2{,}732\textbf{[}\quad d.)\textbf{]}2{,}732;\ \infty\textbf{[}$

Jetzt musst du dir, für jeden Bereich, das Vorzeichen von$\ \ f(x)$ überlegen.

Setze eine Zahl, die im jeweiligen Bereich liegt, in $f(x)$ ein.

a.) z. B. $(-1)\qquad\Rightarrow\qquad f(-1)= -1;\quad Vorzeichen\ (-)$

b.) z. B.$\ \ (0)\qquad\Rightarrow\qquad \ \ \ f(0)=2;\qquad \ Vorzeichen\ (+)$

c.) z. B.$\ \ \ (2)\qquad\Rightarrow\qquad \ \ f(2)=4;\qquad \ Vorzeichen\ (-)$

d.) z. B. $\ \ (3)\qquad\Rightarrow\qquad \ f(3)=2;\qquad \ \ Vorzeichen\ (+)$