Gemischte Aufgaben zu Ungleichungen

Die Ungleichung gilt also für alle Werte die größer als 1000 sind.

Betrachte zunächst den Zähler: $Z(x)=10x^2-70$

Für die Zerlegung in Linearfaktoren löse die Gleichung $Z(x)=0$ oder klammere im Zähler $10$ aus und wende die $3.$ binomische Formel an.

Du erhältst $Z(x)=10\cdot (x-\sqrt{7})\cdot (x+\sqrt{7})$

Der Nenner ist $N(x)=\sqrt{7}{x}^2+5x-2\sqrt{7}$

Löse die Gleichung $N(x)=0$

$\sqrt{7}{x}^2+5x-2\sqrt{7}=0$

Dies ist eine quadratische Gleichung, die du z.B. mit der Mitternachtsformel lösen kannst. Lies dazu die Werte von $a$, $b$ und $c$ ab: $a=\sqrt{7},b=5,c=-2\sqrt{7}$

Du hast die beiden Lösungen $x_1=-\sqrt{7}$ und $x_2={\displaystyle \frac{2}{7}}\cdot \sqrt{7}$ erhalten.

Damit kann der Nenner geschrieben werden als:

$N(x)=\sqrt{7}\cdot (x+\sqrt{7})\cdot (x-\frac{2}{7}\cdot \sqrt{7})$

Die Funktion $f(x)$ kann nun faktorisiert dargestellt werden:

$f(x)={\displaystyle \frac{10\cdot (x-\sqrt{7})\cdot (x+\sqrt{7})}{\sqrt{7}\cdot (x+\sqrt{7})\cdot (x-\frac{2}{7}\cdot \sqrt{7})}}$

Der Term $(x+\sqrt{7})$ kann gekürzt werden: $\Rightarrow f^{\ast }(x)={\displaystyle \frac{10\cdot (x-\sqrt{7})}{\sqrt{7}\cdot (x-\frac{2}{7}\cdot \sqrt{7})}}$

Die Funktion $f^{\ast }(x)$ hat eine Nullstelle bei $x_N=\sqrt{7}$ $(Z(x_N)=0$ und $N(x_N)\ne 0)$ und eine Polstelle bei $x_P={\displaystyle \frac{2}{7}}\cdot \sqrt{7}$ $(N(x_P)=0$ und $Z(x_P)\ne 0)$.

Vorzeichenbereiche:

Ist $x<\frac{2}{7}\cdot \sqrt{7}$ dann ist $N(x)<0$ und $Z(x)<0\Rightarrow f(x)>0$

Ist $\frac{2}{7}\cdot \sqrt{7}<x<\sqrt{7}$ dann ist $N(x)>0$ und $Z(x)<0\Rightarrow f(x)<0$

Ist $x>\sqrt{7}$, dann ist $Z(x)>0$ und $N(x)>0\Rightarrow f(x)>0$

Damit ergeben sich folgende Intervallbereiche für das Vorzeichen der Funktion $f(x)$:

Zur Veranschaulichung der Funktionsverlauf von $f(x)$.

Ermittle die Vorzeichenbereiche für den folgenden Funktionsterm:

$f\left(x\right)=x^3-3x^2+2$

Um den Vorzeichenbereich ermitteln zu können, musst du zuerst die Nullstellen berechnen.

Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. $1$ in $f(x)$ ein.

$f(1)=1^3-3\cdot 1^2+2=0$

Die Funktion $f(x)$ hat an der Stelle $x_1=1$ eine Nullstelle. Da $f(1)=0$, wissen wir, dass $f(x)$ den dazugehörigen Linearfaktor $(x-1)$ besitzt.

Führe nun die Polynomdivision $f(x):(x-1)$ durch.

$\begin{array}{l}(x^3-3x^2+2):(x-1)=x^2-2x-2\\ \underline{-(x^3-x^2)}\\ -2x^2+2\\ \underline{-(-2x^2+2x)}\\ \\ -2x+2\\ \underline{-(-2x+2)}\\ \\ 0\end{array}$

Die Funktion $f(x)$ wird dann $0$, sobald mindestens einer der Faktoren gleich $0$ ist. Da die Nullstelle $x_1=1$ bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von $f$ bestimmen, indem du das erhaltene Polynom gleich $0$ setzt.

$x^2-2x-2=0$

Löse die quadratische Gleichung mit Hilfe der Mitternachtsformel.

$x_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

Die Nullstellen sind also: $x_1=1;x_2=\mathrm{2,732};x_3=-\mathrm{0,732}$

Es ergeben sich $4$ Vorzeichenbereiche:

$a.)\text{]}-\infty ;-\mathrm{0,732}\text{[}b.)\text{]}-\mathrm{0,732};1\text{[}c.)\text{]}1;\mathrm{2,732}\text{[}d.)\text{]}\mathrm{2,732};\infty \text{[}$

Jetzt musst du dir, für jeden Bereich, das Vorzeichen von$f(x)$ überlegen.

Setze eine Zahl, die im jeweiligen Bereich liegt, in $f(x)$ ein.

a.) z. B. $(-1)\Rightarrow f(-1)=-1;Vorzeichen(-)$

b.) z. B.$(0)\Rightarrow f(0)=2;Vorzeichen(+)$

c.) z. B.$(2)\Rightarrow f(2)=4;Vorzeichen(-)$

d.) z. B. $(3)\Rightarrow f(3)=2;Vorzeichen(+)$

Ausschlaggebend für das Vorzeichen der Funktion $f(x)$ ist der Term $-(x-2{)}^3$. Der Term $x^2$ hat keine Auswirkung auf das Vorzeichen der Funktion.

Für $x<2$ ist der Term $-(x-2{)}^3>0\Rightarrow f(x)>0$

Für $x>2$ ist der Term $-(x-2{)}^3<0\Rightarrow f(x)<0$

Für $x=0$ (doppelte Nullstelle) und $x=2$ (dreifache Nullstelle) ist $f(x)=0$

Damit ergeben sich folgende Vorzeichenbereiche:

Bei einer doppelten Nullstelle gibt es ein Extremum auf der $x$-Achse, hier im Punkt $(0|0)$. Das Extremum kann wegen des Vorzeichenbereichs (grün) nur ein Tiefpunkt sein.

Bei einer dreifachen Nullstelle gibt es einen Sattelpunkt auf der $x$-Achse, hier im Punkt $(2|0)$. Der Sattelpunkt kann wegen des Vorzeichenbereichs (braun) nur ein links-rechts-Sattelpunkt sein.

Mit den ermittelten Vorzeichenbereichen ergibt sich folgende grobe Funktionsdarstellung:

Zwischen den beiden Nullstellen $N_1$ und $N_2$ gibt es nach dieser Skizze einen Hochpunkt.

Funktionsdarstellung $f(x)$

Bei einer gebrochen rationalen Funktion muss man aufpassen, wann sich das Vorzeichen im Nenner und wann das Vorzeichen im Zähler verändert.

Prinzipiell gilt: das Gesamtvorzeichen ist positiv, wenn der Zähler und Nenner dasselbe Vorzeichen haben, bei unterschiedlichen Vorzeichen ist das Gesamtvorzeichen negativ.

Betrachte zuerst den Nenner ${(x^2+x+1)}^2$. Da am Ende quadriert wird, ist dieser immer größer gleich 0. Du kannst dir auch überlegen, dass er nie 0 ist:

wenn du versuchst, die Nullstellen mit der Mitternachtsformel zu bestimmen, erhältst du

Da es keine Lösung gibt, hat der Nenner keine Nullstelle und ist immer positiv.

Um zu bestimmen, wann der Zähler das Vorzeichen wechselt, bestimmen wir zunächst dessen Nullstellen.

$\begin{array}{l}{x}^4+2x^3+3x^2\stackrel{\underset{!}{}}{=}0\\ x^2\cdot (x^2+2x+3)\stackrel{\underset{!}{}}{=}0\end{array}$

Nach dem Satz vom Nullprodukt ist ein Produkt genau dann 0, wenn einer seiner Faktoren 0 ist. Hier kann der Zähler Null sein, wenn $x^2=0$ ist, also bei $x=0$. Der andere Faktor $(x^2+2x+3)$ kann jedoch nicht null werden. Versuchst du die Nullstellen mit der Mitternachtsformel auszurechen, merkst du, dass der unter der Wurzel (die Determinante) etwas Negatives rauskommt.

Also hat die Funktion f(x) nur eine Nullstelle bei $x=0$ und kann nur dort die x Achse überschreiten.

Setze $-1$ in die Funktion ein:

Damit ist die Funktion für alle Werte kleiner als die Nullstelle positiv und oberhalb der x Achse. Um zu überprüfen, welches Vorzeichen du erhälst, wenn du rechts von der Nullstelle bist, setze eine Zahl die größer als die Nullstelle ist, in die Funktion ein. $1$ bietet sich hier an.

Also ist die Funktion auch auf der rechten Seite der Nullstelle positiv.

Die Funktion ist somit immer überhalb der $x$-Achse.

Dasselbe Ergebnis erhälst du auch, wenn du nachweist, dass $x^2+2x+3$ (z.B. für $x=0$) positiv ist. Der Term hat ja keine Nullstellen und daher immer dasselbe Vorzeichen. Weil $x^2$ positiv ist, hat $f(x)$ nur für $x=0$ den Wert Null und ist sonst immer positiv, d.h. der Graph verläuft oberhalb der $x$-Achse.