Gemischte Aufgaben zu Ungleichungen

Lerne hier mit unterschiedlichen Aufgaben Ungleichungen zu lösen.

Für welche positiven x-Werte gilt: $\dfrac{2x+1}{x}<2{,}001$ ?

Löse folgende Ungleichungen

$-3x^2-4x+5\geq0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichung

1. Ersetze das Relationszeichen durch ein Gleichheitszeichen

$-3x^2-4x+5=0$

2. Quadratische Gleichung lösen

Löse die quadratische Gleichung $-3x^2-4x+5=0$ .

Du kannst die Mitternachtsformel oder die pq-Formel verwenden. Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.

Lies die Werte für $a$ , $b$ und $c$ ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein:

$a=-3$ , $b=-4$ und $c=5$

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
	↓	Setze $a=-3$ , $b=-4$ und $c=5$ ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^{2}-4\cdot(-3) \cdot5}}{2\cdot (-3)}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{4\pm \sqrt{16+60}}{(-6)}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{4\pm \sqrt{76}}{(-6)}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{4\pm2 \cdot\sqrt{19}}{(-6)}$
	↓	Klammere $2$ aus und kürze.
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{2\pm \sqrt{19}}{3}$

Du hast als Lösung $x_{1 , 2}=-\dfrac{2\pm \sqrt{19}}{3}$ erhalten.

$x_1=-\dfrac{2+ \sqrt{19}}{3}=\dfrac{-2- \sqrt{19}}{3}\approx-2{,}1$

und $x_2 =-\dfrac{2- \sqrt{19}}{3}=\dfrac{-2+ \sqrt{19}}{3}\approx0{,}8$

3. Lege eine Vorzeichentabelle an

Betrachte die linke Seite der Ungleichung als Funktion: $f(x)=-3x^2-4x+5$

Erstelle eine Vorzeichentabelle für $f(x)$ :

Ergebnis: Im mittleren Intervall $I_2$ ist $f(x)>0$ .

In der Ungleichung steht ein " $\geq$ ". In diesem Fall gehören auch die beiden Nullstellen zum Lösungsintervall.

4. Angabe der Lösungsmenge

Somit lautet die Lösungsmenge für die Ungleichung:

\displaystyle \mathbb{L}=\left[\dfrac{-2- \sqrt{19}}{3};\dfrac{-2+ \sqrt{19}}{3}\right]

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$x^2-3x+10\leq0$

$2x^2+98>28x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichung

1. Bringe zunächst alle Terme auf eine Seite

$\displaystyle 2x^2+98$	$>$	$\displaystyle 28x$	$\displaystyle -28x$
	↓	Alle Terme auf eine Seite bringen.
$\displaystyle 2x^2-28x+98$	$>$	$\displaystyle 0$

Du hast die quadratische Ungleichung $2x^2-28x+98>0$ erhalten.

2. Ersetze das Relationszeichen durch ein Gleichheitszeichen

$2x^2-28x+98=0$

3. Quadratische Gleichung lösen

Löse die quadratische Gleichung $2x^2-28x+98=0$ .

Du kannst die Mitternachtsformel oder die pq-Formel verwenden. Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.

Lies die Werte für $a$ , $b$ und $c$ ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein:

$a=2$ , $b=-28$ und $c=98$

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$
	↓	Setze $a=2$ , $b=-28$ und $c=98$ ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-(-28)\pm \sqrt{(-28)^{2}-4\cdot2 \cdot98}}{2\cdot 2}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{28\pm \sqrt{784-784}}{4}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{28\pm 0}{4}$
	$=$	$\displaystyle 7$

Du hast als Lösung der quadratischen Gleichung die Doppelnullstelle $x=7$ erhalten.

3. Lege eine Vorzeichentabelle an

Betrachte die linke Seite der Ungleichung als Funktion: $f(x)=2x^2-28x+98$

Erstelle eine Vorzeichentabelle für $f(x)$ :

Ergebnis: In beiden Intervallen ist $f(x)$ jeweils positiv.

Lediglich für $x=7$ ist $f(7)=0$ .

Für $x\in \mathbb R\backslash\{7\}$ ist also die Ungleichung erfüllt.

4. Angabe der Lösungsmenge

Die Lösungsmenge ist die Vereinigungsmenge der gefundenen Lösungsintervalle.

Somit lautet die Lösungsmenge für die Ungleichung:

\displaystyle \mathbb{L}=\left[\dfrac{-2- \sqrt{19}}{3};\dfrac{-2+ \sqrt{19}}{3}\right]

Gleichwertig ist auch die folgende Darstellung der Lösungsmenge:

\displaystyle \mathbb{L}=\left[\dfrac{-2- \sqrt{19}}{3};\dfrac{-2+ \sqrt{19}}{3}\right]

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Löse folgende Ungleichungen

$\frac12-3x>x+2{,}75$

$\frac58\cdot\left(x-0{,}4\right)-2<x-10$

$\frac37\cdot\left(2-3x\right)-1\geq\frac12\cdot\left(3x-5\right)$

$\frac{12-5x}7\leq3$

$\frac{8-3x}5\geq5-2x$

$\frac{x-0{,}3}5\leq\frac{7-x}2$

$\frac35\cdot\frac{2-x}4>\frac{0{,}4\cdot\left(x-1\right)}{15}$

Faktorisieren Sie Zähler und Nenner, kürzen Sie anschließend und ermitteln Sie die Vorzeichenbereiche:

$f\left(x\right)=\dfrac{10x^2-70}{\sqrt7x^2+5x-2\sqrt7}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Linearfaktoren

Betrachte zunächst den Zähler: $Z(x)=10x^2-70$

Für die Zerlegung in Linearfaktoren löse die Gleichung $Z(x)=0$ oder klammere im Zähler $10$ aus und wende die $3.$ binomische Formel an.

Du erhältst $Z(x)=10\cdot\left(x-\sqrt{7}\right)\cdot \left(x+\sqrt{7}\right)$

Der Nenner ist $N(x)=\sqrt{7}x^2+5x-2\sqrt{7}$

Löse die Gleichung $N(x)=0$

$\sqrt{7}x^2+5x-2\sqrt{7}=0$

Dies ist eine quadratische Gleichung, die du z.B. mit der Mitternachtsformel lösen kannst. Lies dazu die Werte von $a$ , $b$ und $c$ ab: $a=\sqrt{7}, b=5, c=-2\sqrt{7}$

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
	↓	Setze die Werte ein: $a=\sqrt{7}, b=5, c=-2\sqrt{7}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-5\pm\sqrt{5^2-4\cdot\sqrt{7}\cdot(-2\cdot\sqrt{7})}}{2\sqrt{7}}$
	↓	Vereinfache
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-5 \pm \sqrt{25+56}}{2 \sqrt{7}}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-5 \pm \sqrt{81}}{2 \sqrt{7}}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-5 \pm 9}{2 \sqrt{7}}$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-14}{2 \sqrt{7}}$
	↓	Kürze.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-7}{ \sqrt{7}}$	$\displaystyle \cdot\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$
	↓	Beseitige die Wurzel im Nenner.
	$=$	$\displaystyle -\sqrt{7}$	$\displaystyle \cdot\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle \dfrac{4}{2 \sqrt{7}}$
	↓	Kürze.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{2}{ \sqrt{7}}$	$\displaystyle \cdot\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$
	↓	Beseitige die Wurzel im Nenner.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{2}{7}\cdot \sqrt{7}$

Du hast die beiden Lösungen $x_1=-\sqrt{7}$ und $x_2=\dfrac{2}{7}\cdot \sqrt{7}$ erhalten.

Damit kann der Nenner geschrieben werden als:

$N(x)=\sqrt{7}\cdot(x+\sqrt{7})\cdot (x-\frac{2}{7}\cdot \sqrt{7})$

Die Funktion $f(x)$ kann nun faktorisiert dargestellt werden:

$f(x)=\dfrac{10\cdot\left(x-\sqrt{7}\right)\cdot \left(x+\sqrt{7}\right)}{\sqrt{7}\cdot(x+\sqrt{7})\cdot (x-\frac{2}{7}\cdot \sqrt{7})}$

Der Term $(x+\sqrt{7})$ kann gekürzt werden: $\;\Rightarrow\; f^*(x)=\dfrac{10\cdot\left(x-\sqrt{7}\right)}{\sqrt{7}\cdot (x-\frac{2}{7}\cdot \sqrt{7})}$

Die Funktion $f^*(x)$ hat eine Nullstelle bei $x_N=\sqrt{7}$ $(Z(x_N)=0$ und $N(x_N)\neq 0)$ und eine Polstelle bei $x_P=\dfrac{2}{7}\cdot \sqrt{7}$ $(N(x_P)=0$ und $Z(x_P)\neq 0)$ .

Vorzeichenbereiche:

Ist $x<\frac{2}{7}\cdot \sqrt{7}$ dann ist $N(x)<0$ und $Z(x)<0 \;\Rightarrow\; f(x)>0$

Ist $\frac{2}{7}\cdot\sqrt{7}<x<\sqrt{7}$ dann ist $N(x)>0$ und $Z(x)<0 \;\Rightarrow\;f(x)<0$

Ist $x>\sqrt{7}$ , dann ist $Z(x)>0$ und $N(x)>0\;\Rightarrow\;f(x)>0$

Damit ergeben sich folgende Intervallbereiche für das Vorzeichen der Funktion $f(x)$ :

Intervall	$-\infty<x<\frac{2}{7}\sqrt{7}$	$\frac{2}{7}\sqrt{7}<x<\sqrt{7}$	$\sqrt{7}<x<\infty\\$
$f(x)$	$>0$	$<0$	$>0$

Zur Veranschaulichung der Funktionsverlauf von $f(x)$ .

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Ermittle die Vorzeichenbereiche für den folgenden Funktionsterm

$f\left(x\right)=x^3-3x^2+2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung

Ermittle die Vorzeichenbereiche für den folgenden Funktionsterm:

$f\left(x\right)=x^3-3x^2+2$

Um den Vorzeichenbereich ermitteln zu können, musst du zuerst die Nullstellen berechnen.

Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. $1$ in $f(x)$ ein.

$f(1)=1^3-3\cdot1^2+2=0$

Die Funktion $f(x)$ hat an der Stelle $x_1=1$ eine Nullstelle. Da $f(1)=0$ , wissen wir, dass $f(x)$ den dazugehörigen Linearfaktor $(x-1)$ besitzt.

Führe nun die Polynomdivision $f(x):(x-1)$ durch.

$\ \ \ (x^3-3x^2+2):(x-1)=x^2-2x-2\\\underline{-(x^3-x^2)}\\\ \qquad-2x^2+2\\\quad\underline{-(-2x^2+2x)}\\\\\quad\qquad\qquad-2x+2\\\qquad\qquad\underline{-(-2x+2)}\\\\\qquad\qquad\qquad\qquad0$

Die Funktion $f(x)$ wird dann $0$ , sobald mindestens einer der Faktoren gleich $0$ ist. Da die Nullstelle $x_1=1$ bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von $f$ bestimmen, indem du das erhaltene Polynom gleich $0$ setzt.

$x^2-2x-2\ =\ 0$

Löse die quadratische Gleichung mit Hilfe der Mitternachtsformel.

$x_{1{,}2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Setze die entsprechenden Werte in die Mitternachtsformel ein.
	↓
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot1\cdot(-2)}}{2\cdot1}$
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{2\pm\sqrt{12}}{2}$
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{2\pm\sqrt{3\cdot4}}{2}$
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{2\pm2\cdot\sqrt{3}}{2}$
$\displaystyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle 1\pm\sqrt{3}$
$\displaystyle x_{2}$	$=$	$\displaystyle \ \ \ 2{,}732$
$\displaystyle x_{3}$	$=$	$\displaystyle -0{,}732$

Die Nullstellen sind also: $x_{1}=1\ ;\quad x_2{}=2{,}732\ ;\quad x_{3}=-0{,}732$

Es ergeben sich $4$ Vorzeichenbereiche:

$a.)\textbf{]}-\infty;\ -0{,}732\textbf{[}\quad b.)\textbf{]}-0{,}732;\ 1\textbf{[}\quad c.)\textbf{]}1;\ 2{,}732\textbf{[}\quad d.)\textbf{]}2{,}732;\ \infty\textbf{[}$

Jetzt musst du dir, für jeden Bereich, das Vorzeichen von $\ \ f(x)$ überlegen.

Setze eine Zahl, die im jeweiligen Bereich liegt, in $f(x)$ ein.

a.) z. B. $(-1)\qquad\Rightarrow\qquad f(-1)= -1;\quad Vorzeichen\ (-)$

b.) z. B. $\ \ (0)\qquad\Rightarrow\qquad \ \ \ f(0)=2;\qquad \ Vorzeichen\ (+)$

c.) z. B. $\ \ \ (2)\qquad\Rightarrow\qquad \ \ f(2)=4;\qquad \ Vorzeichen\ (-)$

d.) z. B. $\ \ (3)\qquad\Rightarrow\qquad \ f(3)=2;\qquad \ \ Vorzeichen\ (+)$

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strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Ermitteln Sie die Vorzeichenbereiche für die durch
$f\left(x\right)=-\left(x-2\right)^3\cdot x^2$ gegebene Funktion und fertigen Sie eine prinzipielle Skizze des Funktionsgraphen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
Ausschlaggebend für das Vorzeichen der Funktion $f(x)$ ist der Term $-(x-2)^3$ . Der Term $x^2$ hat keine Auswirkung auf das Vorzeichen der Funktion.
Für $x<2$ ist der Term $-(x-2)^3 >0\;\Rightarrow\;f(x)>0$
Für $x>2$ ist der Term $-(x-2)^3 <0\;\Rightarrow\;f(x)<0$
Für $x=0$ (doppelte Nullstelle) und $x=2$ (dreifache Nullstelle) ist $f(x)=0$
Damit ergeben sich folgende Vorzeichenbereiche:
Bei einer doppelten Nullstelle gibt es ein Extremum auf der $x$ -Achse, hier im Punkt $(0|0)$ . Das Extremum kann wegen des Vorzeichenbereichs (grün) nur ein Tiefpunkt sein.
Bei einer dreifachen Nullstelle gibt es einen Sattelpunkt auf der $x$ -Achse, hier im Punkt $(2|0)$ . Der Sattelpunkt kann wegen des Vorzeichenbereichs (braun) nur ein links-rechts-Sattelpunkt sein.
Mit den ermittelten Vorzeichenbereichen ergibt sich folgende grobe Funktionsdarstellung:
Zwischen den beiden Nullstellen $N_1$ und $N_2$ gibt es nach dieser Skizze einen Hochpunkt.
Funktionsdarstellung $f(x)$
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Ermitteln Sie, in welchen Bereichen der Funktionsgraph ober- bzw. unterhalb der x-Achse verläuft:
$f\left(x\right)=\dfrac{x^4+2x^3+3x^2}{\left(x^2+x+1\right)^2}$

Bei einer gebrochen rationalen Funktion muss man aufpassen, wann sich das Vorzeichen im Nenner und wann das Vorzeichen im Zähler verändert.
Prinzipiell gilt: das Gesamtvorzeichen ist positiv, wenn der Zähler und Nenner dasselbe Vorzeichen haben, bei unterschiedlichen Vorzeichen ist das Gesamtvorzeichen negativ.
Betrachte zuerst den Nenner $\left(x^2+x+1\right)^2$ . Da am Ende quadriert wird, ist dieser immer größer gleich 0. Du kannst dir auch überlegen, dass er nie 0 ist:
wenn du versuchst, die Nullstellen mit der Mitternachtsformel zu bestimmen, erhältst du
Da es keine Lösung gibt, hat der Nenner keine Nullstelle und ist immer positiv.
Um zu bestimmen, wann der Zähler das Vorzeichen wechselt, bestimmen wir zunächst dessen Nullstellen.
$x^4+2x^3+3x^2 \overset{\underset{\mathrm{!}}{}}{=}0 \newline x^2\cdot(x^2+2x+3) \overset{\underset{\mathrm{!}}{}}{=}0$
Nach dem Satz vom Nullprodukt ist ein Produkt genau dann 0, wenn einer seiner Faktoren 0 ist. Hier kann der Zähler Null sein, wenn $x^2=0$ ist, also bei $x=0$ . Der andere Faktor $(x^2+2x+3)$ kann jedoch nicht null werden. Versuchst du die Nullstellen mit der Mitternachtsformel auszurechen, merkst du, dass der unter der Wurzel (die Determinante) etwas Negatives rauskommt.
Also hat die Funktion f(x) nur eine Nullstelle bei $x=0$ und kann nur dort die x Achse überschreiten.
Setze $-1$ in die Funktion ein:

Damit ist die Funktion für alle Werte kleiner als die Nullstelle positiv und oberhalb der x Achse. Um zu überprüfen, welches Vorzeichen du erhälst, wenn du rechts von der Nullstelle bist, setze eine Zahl die größer als die Nullstelle ist, in die Funktion ein. $1$ bietet sich hier an.

Also ist die Funktion auch auf der rechten Seite der Nullstelle positiv.
Die Funktion ist somit immer überhalb der $x$ -Achse.
Dasselbe Ergebnis erhälst du auch, wenn du nachweist, dass $x^2+2x+3$ (z.B. für $x=0$ ) positiv ist. Der Term hat ja keine Nullstellen und daher immer dasselbe Vorzeichen. Weil $x^2$ positiv ist, hat $f(x)$ nur für $x=0$ den Wert Null und ist sonst immer positiv, d.h. der Graph verläuft oberhalb der $x$ -Achse.

Löse die Bruchungleichungen

$\dfrac{x-1}{2x+3}>0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichung

Definitionsmenge bestimmen

Bestimme zuerst die Definitionsmenge. Der Nenner darf nicht $0$ sein. Deshalb muss im Vorfeld die Gleichung $2x+3=0$ gelöst werden.

$\displaystyle 2x+3$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -3$
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle -3$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -1{,}5$

Es gilt also: $D=\mathbb{R} \backslash \{-1{,}5\}$

Ungleichung lösen

Um die Ungleichung zu lösen, muss mit dem Nenner der linken Seite der Ungleichung multipliziert werden und die entstehende Ungleichung nach $x$ aufgelöst werden.

$\frac{x-1}{2x+3}>0$

Multipliziere mit $(2x+3)$ .

Vorsicht

Wenn $(2x+3)$ kleiner als $0$ ist, kehrt sich das Ungleichheitszeichen um. Daher braucht man hier eine Fallunterscheidung.

1. Fall: Nenner positiv

Der Nenner $\left(2x+3\right)$ ist positiv, wenn $x>-1{,}5$ .

$\displaystyle \frac{x-1}{2x+3}$	$>$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle \cdot\left(2x+3\right)$
$\displaystyle x-1$	$>$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +1$
$\displaystyle x$	$>$	$\displaystyle 1$

Im Fall $x>-1{,}5$ ist, ist die Ungleichung also für $x>1$ erfüllt.

$\Rightarrow]1;\infty[$ ist Teil des Lösungsintervalls

2. Fall: Nenner negativ

Der Nenner $\left(2x+3\right)<0$ ist negativ, wenn $x<-1{,}5$ . Das Ungleichheitszeichen wird umgedreht.

$\displaystyle \frac{x-1}{2x+3}$	$>$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle \cdot\left(2x+3\right)$
$\displaystyle x-1$	$<$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +1$
$\displaystyle x$	$<$	$\displaystyle 1$

Die Lösung ist zwar $x<1$ , laut Voraussetzung soll beim 2. Fall aber sogar $x<-1{,}5$ gelten. Deshalb wird das obige Lösungsintervall erweitert um $]-\infty;-1{,}5[$ .

Lösung

$x\in]−\infty;-1{,}5[$ oder $x \in\; ]1; \infty[$

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$\dfrac{x}{3-4x}\le0$

Definitionsmenge bestimmen
Bestimme zuerst die Definitionsmenge.
Weil der Nenner nicht $0$ sein darf, muss zunächst die Gleichung $3-4x=0$ nach x aufgelöst werden.
$\displaystyle 3-4x$ $=$ $\displaystyle 0$ $\displaystyle +4x$
$\displaystyle 3$ $=$ $\displaystyle 4x$ $\displaystyle :4$
$\displaystyle x$ $=$ $\displaystyle \frac{3}{4}$
Es gilt also: $D=\mathbb{R}\ \backslash \left\{\frac{3}{4}\right\}$
Ungleichung lösen
Um die Ungleichung zu lösen, muss zunächst mit dem Nenner der linken Seite multipliziert werden und die entstehende Ungleichung im Anschluss nach $x$ aufgelöst werden.
$\dfrac {x}{3-4x}\leq 0$
Multipliziere mit $(3-4x)$ .
Vorsicht
Wenn $(3-4x)$ kleiner als $0$ ist, kehrt sich das Ungleichheitszeichen um. Daher braucht man hier eine Fallunterscheidung.
1. Fall: $(3-4x)>0$ , also $x<\frac 34$
$\displaystyle \frac{x}{3-4x}$ $≤$ $\displaystyle 0$ $\displaystyle \cdot\left(3-4x\right)$
$\displaystyle x$ $≤$ $\displaystyle 0$
Im Fall $x<\frac 34$ ist, ist die Ungleichung also für $x\leq 0$ erfüllt.
$\Rightarrow]-\infty;0]$ ist Teil des Lösungsintervalls
2. Fall: $(3-4x)<0$ , also $x>\frac{3}{4}$
$\displaystyle \frac{x}{3-4x}$ $≤$ $\displaystyle 0$ $\displaystyle \cdot\left(3-4x\right)$
$\displaystyle x$ $≥$ $\displaystyle 0$
Im Fall $x>\frac 34$ ist, ist die Ungleichung also für $x\geq 0$ erfüllt. Da laut der Fallunterscheidung $x>\frac34$ ist, gilt die Gleichung also für $x>\frac34$ .
$\Rightarrow ]\frac 34; \infty[$ ist Teil des Lösungsintervalls
Lösung
$x \in\; ]-\infty;0]\; \cup \; ]\frac 34; \infty[$
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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle \dfrac{2x+1}x$	$<$	$\displaystyle 2{,}001$	$\displaystyle \cdot x$
	↓	Da x positiv ist wird das Ungleichheitszeichen nicht umgedreht
$\displaystyle 2x + 1$	$<$	$\displaystyle 2{,}001\cdot x$	$\displaystyle -2x$
$\displaystyle 1$	$<$	$\displaystyle 0{,}001x$	$\displaystyle : 0{,}001$
$\displaystyle 1000$	$<$	$\displaystyle x$

$\displaystyle \frac{1}{2}-3x$	$>$	$\displaystyle x+2{,}75$
	↓	Wandle den Bruch in eine Dezimalzahl um
$\displaystyle 0{,}5-3x$	$>$	$\displaystyle x+2{,}75$	$\displaystyle +3x$
$\displaystyle 0{,}5$	$>$	$\displaystyle 4x+2{,}75$	$\displaystyle -2{,}75$
$\displaystyle -2{,}25$	$>$	$\displaystyle 4x$	$\displaystyle :4$
	↓	Vertausche die linke und rechte Seite
$\displaystyle x$	$<$	$\displaystyle -0{,}5625$

$\displaystyle \frac{5}{8}\cdot\left(x-0{,}4\right)-2$	$<$	$\displaystyle x-10$
	↓	Wandle den Bruch in eine Dezimalzahl um
$\displaystyle 0{,}625\cdot\left(x-0{,}4\right)-2$	$<$	$\displaystyle x-10$	$\displaystyle +2$
$\displaystyle 0{,}625\cdot\left(x-0{,}4\right)$	$<$	$\displaystyle x-8$
	↓	Klammer ausmultiplizieren
$\displaystyle 0{,}625x-0{,}25$	$<$	$\displaystyle x-8$	$\displaystyle +8$
$\displaystyle 0{,}625x+7{,}75$	$<$	$\displaystyle x$	$\displaystyle -0{,}625$
$\displaystyle 7{,}75$	$<$	$\displaystyle 0{,}375x$	$\displaystyle :0{,}375$
	↓	Vertausche die linke und rechte Seite
$\displaystyle x$	$>$	$\displaystyle 20{,}67$

$\displaystyle \dfrac{3}{7}\cdot\left(2-3x\right)-1$	$≥$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot\left(3x-5\right)$
	↓	Klammern ausmultiplizieren
$\displaystyle \dfrac{6}{7}-\dfrac{9}{7}x-1$	$≥$	$\displaystyle \dfrac{3}{2}x-\dfrac{5}{2}$
	↓	Umwandeln von 1 in einen Scheinbruch
$\displaystyle \dfrac{6}{7}-\dfrac{9}{7}x-\dfrac{7}{7}$	$≥$	$\displaystyle \dfrac{3}{2}x-\dfrac{5}{2}$
	↓	Linke Seite zusammenfassen
$\displaystyle -\dfrac{1}{7}-\dfrac{9}{7}x$	$≥$	$\displaystyle \dfrac{3}{2}x-\dfrac{5}{2}$	$\displaystyle \cdot\text{HN}\; 14$
	↓	Mit dem Hauptnenner $14$ multiplizieren.
$\displaystyle -2-18x$	$≥$	$\displaystyle 21x-35$	$\displaystyle +35$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 33-18x$	$≥$	$\displaystyle 21x$	$\displaystyle +18x$
$\displaystyle 33$	$≥$	$\displaystyle 39x$	$\displaystyle :39$
$\displaystyle \dfrac{33}{39}$	$≥$	$\displaystyle x$
	↓	Kürzen des Bruches auf der linken Seite.
$\displaystyle \dfrac{11}{13}$	$≥$	$\displaystyle x$
	↓	Vertausche die linke und rechte Seite
$\displaystyle x$	$≤$	$\displaystyle \dfrac{11}{13}$

$\displaystyle \frac{12-5x}{7}$	$≤$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle \cdot7$
$\displaystyle 12-5x$	$≤$	$\displaystyle 21$	$\displaystyle -12$
$\displaystyle -5x$	$≤$	$\displaystyle 9$	$\displaystyle :\left(-5\right)$
	↓	Beim Dividieren durch eine negative Zahl ändert sich die Richtung des Ungleichheitszeichens
$\displaystyle x$	$≥$	$\displaystyle -\frac{9}{5}$

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}$
	↓	Setze $p=-3$ und $q=10$ ein.
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{(-3)}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{-3}{2}\right)^2-10}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{3}{2}\pm\sqrt{\dfrac{9}{4}-10}$
	↓	Erweitere $10$ mit $4$ .
	$=$	$\displaystyle \dfrac{3}{2}\pm\sqrt{\dfrac{9}{4}-\dfrac{40}{4}}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{3}{2}\pm\sqrt{-\dfrac{31}{4}}$

$\displaystyle \frac{8-3x}{5}$	$≥$	$\displaystyle 5-2x$	$\displaystyle \cdot5$
	↓	Weil auf der rechten Seite der Ungleichung ein Term steht, muss eine Klammer gesetzt werden
$\displaystyle 8-3x$	$≥$	$\displaystyle 5\cdot\left(5-2x\right)$
	↓	Klammer auflösen
$\displaystyle 8-3x$	$≥$	$\displaystyle 25-10x$	$\displaystyle +10x$
$\displaystyle 8+7x$	$≥$	$\displaystyle 25$	$\displaystyle -8$
$\displaystyle 7x$	$≥$	$\displaystyle 17$	$\displaystyle :7$
$\displaystyle x$	$≥$	$\displaystyle \frac{17}{7}$

$\displaystyle \frac{x-0{,}3}{5}$	$≤$	$\displaystyle \frac{7-x}{2}$	$\displaystyle \cdot2$
	↓	Weil im Zähler der linken Seite ein Term steht, muss dieser in Klammern gesetzt werden
$\displaystyle \frac{2\cdot\left(x-0{,}3\right)}{5}$	$≤$	$\displaystyle 7-x$	$\displaystyle \cdot5$
	↓	Weil im Zähler der rechten Seite ein Term steht, muss dieser in Klammern gesetzt werden
$\displaystyle 2\cdot\left(x-0{,}3\right)$	$≤$	$\displaystyle 5\cdot\left(7-x\right)$
	↓	Klammern auflösen
$\displaystyle 2x-0{,}6$	$≤$	$\displaystyle 35-5x$	$\displaystyle +5x$
$\displaystyle 7x-0{,}6$	$≤$	$\displaystyle 35$	$\displaystyle +0{,}6$
$\displaystyle 7x$	$≤$	$\displaystyle 35{,}6$	$\displaystyle :7$
	↓	Runde den Quotienten auf der rechten Seite auf zwei Nachkommastellen
$\displaystyle x$	$≤$	$\displaystyle 5{,}09$

$\displaystyle \frac{3}{5}\cdot\frac{2-x}{4}$	$>$	$\displaystyle \frac{0{,}4\cdot\left(x-1\right)}{15}$
	↓	Multipliziere die Brüche der linken Seite
$\displaystyle \frac{3\cdot\left(2-x\right)}{20}$	$>$	$\displaystyle \frac{0{,}4\cdot\left(x-1\right)}{15}$	$\displaystyle \cdot15$
$\displaystyle \frac{45\cdot\left(2-x\right)}{20}$	$>$	$\displaystyle 0{,}4\cdot\left(x-1\right)$
	↓	Bruch der linken Seite kürzen
$\displaystyle \frac{9\cdot\left(2-x\right)}{4}$	$>$	$\displaystyle 0{,}4\cdot\left(x-1\right)$	$\displaystyle \cdot4$
$\displaystyle 9\cdot\left(2-x\right)$	$>$	$\displaystyle 1{,}6\cdot\left(x-1\right)$
	↓	Klammern auflösen
$\displaystyle 18-9x$	$>$	$\displaystyle 1{,}6x-1{,}6$	$\displaystyle +1{,}6$
$\displaystyle 19{,}6-9x$	$>$	$\displaystyle 1{,}6x$	$\displaystyle +9x$
$\displaystyle 19{,}6$	$>$	$\displaystyle 10{,}6x$	$\displaystyle :10{,}6$
	↓	Vertausche die linke und rechte Seite
$\displaystyle x$	$<$	$\displaystyle 1{,}849$

$\displaystyle 3-4x$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +4x$
$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle 4x$	$\displaystyle :4$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{4}$

$\displaystyle \frac{x}{3-4x}$	$≤$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle \cdot\left(3-4x\right)$
$\displaystyle x$	$≤$	$\displaystyle 0$

Gemischte Aufgaben zu Ungleichungen

1. Ersetze das Relationszeichen durch ein Gleichheitszeichen

2. Quadratische Gleichung lösen

3. Lege eine Vorzeichentabelle an

4. Angabe der Lösungsmenge

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1. Ersetze das Relationszeichen durch ein Gleichheitszeichen

2. Quadratische Gleichung lösen

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1. Bringe zunächst alle Terme auf eine Seite

2. Ersetze das Relationszeichen durch ein Gleichheitszeichen

3. Quadratische Gleichung lösen

3. Lege eine Vorzeichentabelle an

4. Angabe der Lösungsmenge

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Vorzeichenbereiche:

Funktionsdarstellung f(x)f(x)f(x)

Definitionsmenge bestimmen

Ungleichung lösen

Lösung

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Definitionsmenge bestimmen

Ungleichung lösen

Lösung

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Funktionsdarstellung $f(x)$