Definitionsmenge bestimmen

Bestimme zuerst die Definitionsmenge. Der Nenner darf nicht $0$ sein. Deshalb muss im Vorfeld die Gleichung $2x+3=0$ gelöst werden.

Es gilt also: $D=ℝ\backslash \{-\mathrm{1,5}\}$

Ungleichung lösen

Um die Ungleichung zu lösen, muss mit dem Nenner der linken Seite der Ungleichung multipliziert werden und die entstehende Ungleichung nach $x$ aufgelöst werden.

$\frac{x-1}{2x+3}>0$

Multipliziere mit $(2x+3)$.

1. Fall: Nenner positiv

Der Nenner $(2x+3)$ ist positiv, wenn $x>-\mathrm{1,5}$.

Im Fall $x>-\mathrm{1,5}$ ist, ist die Ungleichung also für $x>1$ erfüllt.

$\Rightarrow ]1;\infty [$ist Teil des Lösungsintervalls

2. Fall: Nenner negativ

Der Nenner $(2x+3)<0$ ist negativ, wenn $x<-\mathrm{1,5}$. Das Ungleichheitszeichen wird umgedreht.

Die Lösung ist zwar $x<1$, laut Voraussetzung soll beim 2. Fall aber sogar $x<-\mathrm{1,5}$​ gelten. Deshalb wird das obige Lösungsintervall erweitert um $]-\infty ;-\mathrm{1,5}[$.

Lösung

$x\in ]-\infty ;-\mathrm{1,5}[$oder $x\in ]1;\infty [$

Definitionsmenge bestimmen

Bestimme zuerst die Definitionsmenge.

Weil der Nenner nicht $0$ sein darf, muss zunächst die Gleichung $3-4x=0$ nach x aufgelöst werden.

Es gilt also: $D=ℝ\backslash \left\{\frac{3}{4}\right\}$

Ungleichung lösen

Um die Ungleichung zu lösen, muss zunächst mit dem Nenner der linken Seite multipliziert werden und die entstehende Ungleichung im Anschluss nach $x$ aufgelöst werden.

${\displaystyle \frac{x}{3-4x}}\le 0$

Multipliziere mit $(3-4x)$.

1. Fall: $(3-4x)>0$, also $x<\frac{3}{4}$

Im Fall $x<\frac{3}{4}$ ist, ist die Ungleichung also für $x\le 0$ erfüllt.

$\Rightarrow ]-\infty ;0]$ ist Teil des Lösungsintervalls

2. Fall: $(3-4x)<0$, also $x>\frac{3}{4}$

Im Fall $x>\frac{3}{4}$ ist, ist die Ungleichung also für $x\ge 0$ erfüllt. Da laut der Fallunterscheidung $x>\frac{3}{4}$ ist, gilt die Gleichung also für $x>\frac{3}{4}$.

$\Rightarrow ]\frac{3}{4};\infty [$ ist Teil des Lösungsintervalls

Lösung

$x\in ]-\infty ;0]\cup ]\frac{3}{4};\infty [$