Löse die Bruchungleichungen
2x+3xâ1â>0
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichung
Definitionsmenge bestimmen
Bestimme zuerst die Definitionsmenge. Der Nenner darf nicht 0 sein. Deshalb muss im Vorfeld die Gleichung 2x+3=0 gelöst werden.
2x+3 = 0 â3 2x = â3 :2 x = â1,5 Es gilt also: D=R\{â1,5}
Ungleichung lösen
Um die Ungleichung zu lösen, muss mit dem Nenner der linken Seite der Ungleichung multipliziert werden und die entstehende Ungleichung nach x aufgelöst werden.
2x+3xâ1â>0
Multipliziere mit (2x+3).
Vorsicht Wenn (2x+3) kleiner als 0 ist, kehrt sich das Ungleichheitszeichen um. Daher braucht man hier eine Fallunterscheidung.
1. Fall: Nenner positiv
Der Nenner (2x+3) ist positiv, wenn x>â1,5.
2x+3xâ1â > 0 â (2x+3) xâ1 > 0 +1 x > 1 Im Fall x>â1,5 ist, ist die Ungleichung also fĂŒr x>1 erfĂŒllt.
â]1;â[ist Teil des Lösungsintervalls
2. Fall: Nenner negativ
Der Nenner (2x+3)<0 ist negativ, wenn x<â1,5. Das Ungleichheitszeichen wird umgedreht.
2x+3xâ1â > 0 â (2x+3) xâ1 < 0 +1 x < 1 Die Lösung ist zwar x<1, laut Voraussetzung soll beim 2. Fall aber sogar x<â1,5â gelten. Deshalb wird das obige Lösungsintervall erweitert um ]ââ;â1,5[.
Lösung
xâ]ââ;â1,5[oder xâ]1;â[
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3â4xxââ€0
Definitionsmenge bestimmen
Bestimme zuerst die Definitionsmenge.
Weil der Nenner nicht 0 sein darf, muss zunĂ€chst die Gleichung 3â4x=0 nach x aufgelöst werden.
3â4x = 0 +4x 3 = 4x :4 x = 43â Es gilt also: D=R \{43â}
Ungleichung lösen
Um die Ungleichung zu lösen, muss zunÀchst mit dem Nenner der linken Seite multipliziert werden und die entstehende Ungleichung im Anschluss nach x aufgelöst werden.
3â4xxââ€0
Multipliziere mit (3â4x).
Vorsicht Wenn (3â4x) kleiner als 0 ist, kehrt sich das Ungleichheitszeichen um. Daher braucht man hier eine Fallunterscheidung.
1. Fall: (3â4x)>0, also x<43â
3â4xxâ †0 â (3â4x) x †0 Im Fall x<43â ist, ist die Ungleichung also fĂŒr xâ€0 erfĂŒllt.
â]ââ;0] ist Teil des Lösungsintervalls
2. Fall: (3â4x)<0, also x>43â
3â4xxâ †0 â (3â4x) x â„ 0 Im Fall x>43â ist, ist die Ungleichung also fĂŒr xâ„0 erfĂŒllt. Da laut der Fallunterscheidung x>43â ist, gilt die Gleichung also fĂŒr x>43â.
â]43â;â[ ist Teil des Lösungsintervalls
Lösung
xâ]ââ;0]âȘ]43â;â[
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