Definitionsmenge bestimmen

Bestimme zuerst die Definitionsmenge. Der Nenner darf nicht $0$ sein. Deshalb muss im Vorfeld die Gleichung $2x+3=0$ gelöst werden.

Es gilt also: $D=\mathbb{R} \backslash \{-1{,}5\}$

Ungleichung lösen

Um die Ungleichung zu lösen, muss mit dem Nenner der linken Seite der Ungleichung multipliziert werden und die entstehende Ungleichung nach $x$ aufgelöst werden.

$\frac{x-1}{2x+3}>0$

Multipliziere mit $(2x+3)$.

1. Fall: Nenner positiv

Der Nenner $\left(2x+3\right)$ ist positiv, wenn $x>-1{,}5$.

Im Fall $x>-1{,}5$ ist, ist die Ungleichung also für $x>1$ erfüllt.

$\Rightarrow]1;\infty[$ist Teil des Lösungsintervalls

2. Fall: Nenner negativ

Der Nenner $\left(2x+3\right)<0$ ist negativ, wenn $x<-1{,}5$. Das Ungleichheitszeichen wird umgedreht.

Die Lösung ist zwar $x<1$, laut Voraussetzung soll beim 2. Fall aber sogar $x<-1{,}5$​ gelten. Deshalb wird das obige Lösungsintervall erweitert um $]-\infty;-1{,}5[$.

Lösung

$x\in]−\infty;-1{,}5[$oder $x \in\; ]1; \infty[$

Definitionsmenge bestimmen

Bestimme zuerst die Definitionsmenge.

Weil der Nenner nicht $0$ sein darf, muss zunächst die Gleichung $3-4x=0$ nach x aufgelöst werden.

Es gilt also: $D=\mathbb{R}\ \backslash \left\{\frac{3}{4}\right\}$

Ungleichung lösen

Um die Ungleichung zu lösen, muss zunächst mit dem Nenner der linken Seite multipliziert werden und die entstehende Ungleichung im Anschluss nach $x$ aufgelöst werden.

$\dfrac {x}{3-4x}\leq 0$

Multipliziere mit $(3-4x)$.

1. Fall: $(3-4x)>0$, also $x<\frac 34$

Im Fall $x<\frac 34$ ist, ist die Ungleichung also für $x\leq 0$ erfüllt.

$\Rightarrow]-\infty;0]$ ist Teil des Lösungsintervalls

2. Fall: $(3-4x)<0$, also $x>\frac{3}{4}$

Im Fall $x>\frac 34$ ist, ist die Ungleichung also für $x\geq 0$ erfüllt. Da laut der Fallunterscheidung $x>\frac34$ ist, gilt die Gleichung also für $x>\frac34$.

$\Rightarrow ]\frac 34; \infty[$ ist Teil des Lösungsintervalls

Lösung

$x \in\; ]-\infty;0]\; \cup \; ]\frac 34; \infty[$