Betrachte zunächst den Zähler: $Z(x)=10x^2-70$

Für die Zerlegung in Linearfaktoren löse die Gleichung $Z(x)=0$ oder klammere im Zähler $10$ aus und wende die $3.$ binomische Formel an.

Du erhältst $Z(x)=10\cdot (x-\sqrt{7})\cdot (x+\sqrt{7})$

Der Nenner ist $N(x)=\sqrt{7}{x}^2+5x-2\sqrt{7}$

Löse die Gleichung $N(x)=0$

$\sqrt{7}{x}^2+5x-2\sqrt{7}=0$

Dies ist eine quadratische Gleichung, die du z.B. mit der Mitternachtsformel lösen kannst. Lies dazu die Werte von $a$, $b$ und $c$ ab: $a=\sqrt{7},b=5,c=-2\sqrt{7}$

Du hast die beiden Lösungen $x_1=-\sqrt{7}$ und $x_2={\displaystyle \frac{2}{7}}\cdot \sqrt{7}$ erhalten.

Damit kann der Nenner geschrieben werden als:

$N(x)=\sqrt{7}\cdot (x+\sqrt{7})\cdot (x-\frac{2}{7}\cdot \sqrt{7})$

Die Funktion $f(x)$ kann nun faktorisiert dargestellt werden:

$f(x)={\displaystyle \frac{10\cdot (x-\sqrt{7})\cdot (x+\sqrt{7})}{\sqrt{7}\cdot (x+\sqrt{7})\cdot (x-\frac{2}{7}\cdot \sqrt{7})}}$

Der Term $(x+\sqrt{7})$ kann gekürzt werden: $\Rightarrow f^{\ast }(x)={\displaystyle \frac{10\cdot (x-\sqrt{7})}{\sqrt{7}\cdot (x-\frac{2}{7}\cdot \sqrt{7})}}$

Die Funktion $f^{\ast }(x)$ hat eine Nullstelle bei $x_N=\sqrt{7}$ $(Z(x_N)=0$ und $N(x_N)\ne 0)$ und eine Polstelle bei $x_P={\displaystyle \frac{2}{7}}\cdot \sqrt{7}$ $(N(x_P)=0$ und $Z(x_P)\ne 0)$.

Vorzeichenbereiche:

Ist $x<\frac{2}{7}\cdot \sqrt{7}$ dann ist $N(x)<0$ und $Z(x)<0\Rightarrow f(x)>0$

Ist $\frac{2}{7}\cdot \sqrt{7}<x<\sqrt{7}$ dann ist $N(x)>0$ und $Z(x)<0\Rightarrow f(x)<0$

Ist $x>\sqrt{7}$, dann ist $Z(x)>0$ und $N(x)>0\Rightarrow f(x)>0$

Damit ergeben sich folgende Intervallbereiche für das Vorzeichen der Funktion $f(x)$:

Zur Veranschaulichung der Funktionsverlauf von $f(x)$.