Betrachte zunächst den Zähler: $Z(x)=10x^2-70$

Für die Zerlegung in Linearfaktoren löse die Gleichung $Z(x)=0$ oder klammere im Zähler $10$ aus und wende die $3.$ binomische Formel an.

Du erhältst $Z(x)=10\cdot\left(x-\sqrt{7}\right)\cdot \left(x+\sqrt{7}\right)$

Der Nenner ist $N(x)=\sqrt{7}x^2+5x-2\sqrt{7}$

Löse die Gleichung $N(x)=0$

$\sqrt{7}x^2+5x-2\sqrt{7}=0$

Dies ist eine quadratische Gleichung, die du z.B. mit der Mitternachtsformel lösen kannst. Lies dazu die Werte von $a$, $b$ und $c$ ab: $a=\sqrt{7}, b=5, c=-2\sqrt{7}$

Du hast die beiden Lösungen $x_1=-\sqrt{7}$ und $x_2=\dfrac{2}{7}\cdot \sqrt{7}$ erhalten.

Damit kann der Nenner geschrieben werden als:

$N(x)=\sqrt{7}\cdot(x+\sqrt{7})\cdot (x-\frac{2}{7}\cdot \sqrt{7})$

Die Funktion $f(x)$ kann nun faktorisiert dargestellt werden:

$f(x)=\dfrac{10\cdot\left(x-\sqrt{7}\right)\cdot \left(x+\sqrt{7}\right)}{\sqrt{7}\cdot(x+\sqrt{7})\cdot (x-\frac{2}{7}\cdot \sqrt{7})}$

Der Term $(x+\sqrt{7})$ kann gekürzt werden: $\;\Rightarrow\; f^*(x)=\dfrac{10\cdot\left(x-\sqrt{7}\right)}{\sqrt{7}\cdot (x-\frac{2}{7}\cdot \sqrt{7})}$

Die Funktion $f^*(x)$ hat eine Nullstelle bei $x_N=\sqrt{7}$ $(Z(x_N)=0$ und $N(x_N)\neq 0)$ und eine Polstelle bei $x_P=\dfrac{2}{7}\cdot \sqrt{7}$ $(N(x_P)=0$ und $Z(x_P)\neq 0)$.

Vorzeichenbereiche:

Ist $x<\frac{2}{7}\cdot \sqrt{7}$ dann ist $N(x)<0$ und $Z(x)<0 \;\Rightarrow\; f(x)>0$

Ist $\frac{2}{7}\cdot\sqrt{7}<x<\sqrt{7}$ dann ist $N(x)>0$ und $Z(x)<0 \;\Rightarrow\;f(x)<0$

Ist $x>\sqrt{7}$, dann ist $Z(x)>0$ und $N(x)>0\;\Rightarrow\;f(x)>0$

Damit ergeben sich folgende Intervallbereiche für das Vorzeichen der Funktion $f(x)$:

Zur Veranschaulichung der Funktionsverlauf von $f(x)$.