Gemischte Aufgaben zu Ungleichungen

Faktorisieren Sie Zähler und Nenner, kürzen Sie anschließend und ermitteln Sie die Vorzeichenbereiche:

$f\left(x\right)=\dfrac{10x^2-70}{\sqrt7x^2+5x-2\sqrt7}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Linearfaktoren

Betrachte zunächst den Zähler: $Z (x) = 10 x^{2} - 70$

Für die Zerlegung in Linearfaktoren löse die Gleichung $Z (x) = 0$ oder klammere im Zähler $10$ aus und wende die $3.$ binomische Formel an.

Du erhältst $Z(x)=10\cdot\left(x-\sqrt{7}\right)\cdot \left(x+\sqrt{7}\right)$

Der Nenner ist $N(x)=\sqrt{7}x^2+5x-2\sqrt{7}$

Löse die Gleichung $N (x) = 0$

$\sqrt{7}x^2+5x-2\sqrt{7}=0$

Dies ist eine quadratische Gleichung, die du z.B. mit der Mitternachtsformel lösen kannst. Lies dazu die Werte von $a$ , $b$ und $c$ ab: $a=\sqrt{7}, b=5, c=-2\sqrt{7}$

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
	↓	Setze die Werte ein: $a=\sqrt{7}, b=5, c=-2\sqrt{7}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-5\pm\sqrt{5^2-4\cdot\sqrt{7}\cdot(-2\cdot\sqrt{7})}}{2\sqrt{7}}$
	↓	Vereinfache
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-5 \pm \sqrt{25+56}}{2 \sqrt{7}}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-5 \pm \sqrt{81}}{2 \sqrt{7}}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-5 \pm 9}{2 \sqrt{7}}$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-14}{2 \sqrt{7}}$
	↓	Kürze.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-7}{ \sqrt{7}}$	$\displaystyle \cdot\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$
	↓	Beseitige die Wurzel im Nenner.
	$=$	$\displaystyle -\sqrt{7}$	$\displaystyle \cdot\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle \dfrac{4}{2 \sqrt{7}}$
	↓	Kürze.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{2}{ \sqrt{7}}$	$\displaystyle \cdot\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$
	↓	Beseitige die Wurzel im Nenner.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{2}{7}\cdot \sqrt{7}$

Du hast die beiden Lösungen $x_1=-\sqrt{7}$ und $x_2=\dfrac{2}{7}\cdot \sqrt{7}$ erhalten.

Damit kann der Nenner geschrieben werden als:

$N(x)=\sqrt{7}\cdot(x+\sqrt{7})\cdot (x-\frac{2}{7}\cdot \sqrt{7})$

Die Funktion $f (x)$ kann nun faktorisiert dargestellt werden:

$f(x)=\dfrac{10\cdot\left(x-\sqrt{7}\right)\cdot \left(x+\sqrt{7}\right)}{\sqrt{7}\cdot(x+\sqrt{7})\cdot (x-\frac{2}{7}\cdot \sqrt{7})}$

Der Term $(x+\sqrt{7})$ kann gekürzt werden: $\;\Rightarrow\; f^*(x)=\dfrac{10\cdot\left(x-\sqrt{7}\right)}{\sqrt{7}\cdot (x-\frac{2}{7}\cdot \sqrt{7})}$

Die Funktion $f^{*} (x)$ hat eine Nullstelle bei $x_N=\sqrt{7}$ $(Z (x_{N}) = 0$ und $N(x_N)\neq 0)$ und eine Polstelle bei $x_P=\dfrac{2}{7}\cdot \sqrt{7}$ $(N (x_{P}) = 0$ und $Z(x_P)\neq 0)$ .

Vorzeichenbereiche:

Ist $x<\frac{2}{7}\cdot \sqrt{7}$ dann ist $N (x) < 0$ und $Z(x)<0 \;\Rightarrow\; f(x)>0$

Ist $\frac{2}{7}\cdot\sqrt{7}<x<\sqrt{7}$ dann ist $N (x) > 0$ und $Z(x)<0 \;\Rightarrow\;f(x)<0$

Ist $x>\sqrt{7}$ , dann ist $Z (x) > 0$ und $N(x)>0\;\Rightarrow\;f(x)>0$

Damit ergeben sich folgende Intervallbereiche für das Vorzeichen der Funktion $f (x)$ :

Intervall	$-\infty<x<\frac{2}{7}\sqrt{7}$	$\frac{2}{7}\sqrt{7}<x<\sqrt{7}$	$\sqrt{7}<x<\infty\\$
$f (x)$	$> 0$	$< 0$	$> 0$

Zur Veranschaulichung der Funktionsverlauf von $f (x)$ .

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