Eine Kugel ist im Dreidimensionalen Raum das, was im zweidimensionalen Raum ein Kreis ist, nämlich die Menge aller Punkte, die zu einem Mittelpunkt M alle den gleichen Abstand r haben.

Formeln

Volumen:

$V=\frac{4}{3}{r}^3\pi V=\backslash frac43r^3\backslash pi$

Pi ist dabei eine Konstante und hier gegeben Artikel zum Thema

Oberflächeninhalt:

$O=4r^2\pi O=4r^2\backslash pi$

Kugelumfang:

U=2\mathrm{rπ}^\;

/// Beispielaufgaben

Aufgaben zum Volumen

Berechnung der Oberfläche

Aufgaben zum Kugelumfang

///

Kugel als Punktmenge

Eine Kugel ist die Menge aller Punkte, vom Ursprung den gleichen Abstand haben.

Also ist die Kugel K mit Mittelpunkt P=(0,0,0) und Radius r definiert durch:

$\mathbf{K}=\{\mathbf{x}\in {\mathbf{R}}^{\mathbf{3}}\mid {\mathbf{x}}_{\mathbf{1}}^{\mathbf{2}}\mathit{+}{\mathbf{x}}_{\mathbf{2}}^{\mathbf{2}}\mathit{+}{\mathbf{x}}_{\mathbf{3}}^{\mathbf{2}}={\mathbf{r}}^{\mathbf{2}}\}\backslash mathbf\; K\backslash boldsymbol=\backslash boldsymbol\backslash ;\backslash left\backslash \{\backslash mathbf\; x\backslash boldsymbol\backslash ;\backslash boldsymbol\backslash in\backslash mathbf\; ℝ^\backslash mathbf3\backslash boldsymbol\backslash ;\backslash left|\backslash boldsymbol\backslash ;\backslash boldsymbol\backslash ;\{\backslash mathbf\; x\}\_\backslash mathbf1^\backslash mathbf2\backslash boldsymbol+\backslash right.\{\backslash mathbf\; x\}\_\backslash mathbf2^\backslash mathbf2\backslash boldsymbol+\{\backslash mathbf\; x\}\_\backslash mathbf3^\backslash mathbf2\backslash boldsymbol\backslash ;\backslash boldsymbol=\backslash boldsymbol\backslash ;\backslash mathbf\; r^\backslash mathbf2\backslash boldsymbol\backslash ;\backslash boldsymbol\backslash ;\backslash right\backslash \}$