Kreiszahl Pi

Übungen zum Verständnis

Konstruiere die Kreise mit Radius $r=2\text{cm}$, $r=3\text{cm}$, $r=4\text{cm}$ und $r=5\text{cm}$ und miss jeweils den Kreisumfang. Erstelle eine Wertetabelle mit jeweiligem Durchmesser und Umfang. Trage die Wertepaare in ein Koordinatensystem ein, die Durchmesser auf der x-Achse, die Umfänge auf der y-Achse.

Welcher Graph ergibt sich? (abgesehen von Messungenauigkeiten)

Wie passt dieser Graph zur Beziehung $\pi ={\displaystyle \frac{U}{d}}$ ?

Miss Durchmesser und Umfang weiterer Kreisformen aus dem Alltag, z. B. Klebebandrollen, Teller, usw. und berechne ihr Verhältnis.

Formeln mit $\pi$

Die Irrationalität von $\pi$

Bestimmung von $\pi$

Hat der Kreis den Radius $r$, gilt für den Flächeninhalt vom Kreis $A_{\text{Kreis}}=\pi r^2$ und vom Quadrat $A_{\text{Quadrat}}=(2r{)}^2=4r^2$.

Das Verhältnis der zufälligen Punkte im Kreis zu den Punkten im Quadrat entspricht ungefähr dem Verhältnis der Flächen:

${\displaystyle \frac{A_{\text{Kreis}}}{A_{\text{Quadrat}}}}\approx {\displaystyle \frac{\text{Punkte im Kreis}}{\text{Punkte im Quadrat}}}={\displaystyle \frac{811}{999}}$

${\displaystyle \frac{\pi r^2}{4r^2}}={\displaystyle \frac{\pi }{4}}\approx {\displaystyle \frac{811}{999}}$

$\pi \approx {\displaystyle \frac{811}{999}}\cdot 4\approx \mathrm{3,247}$

Das Ergebnis weicht weniger als $4\%$ von $\pi$ ab. Möchte man ein genaueres Ergebnis, braucht man noch mehr zufällige Punkte.