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Kreiszahl Pi

Die Kreiszahl π\mathrm\pi ist eine der wichtigsten Konstanten in der Mathematik.

Näherungsweise ist π3,14159\mathrm\pi\approx3{,}14159. π\pi ist das Verhältnis zwischen dem Umfang eines Kreises und dessen Durchmesser.

Es gilt π=Ud\pi = \dfrac{\color{#009999}U}{\color{#cc0000}d}.

Übungen zum Verständnis

Konstruiere die Kreise mit Radius r = 2 cm, r = 3 cm, r = 4 cm und r = 5 cm und miss jeweils den Kreisumfang. Erstelle eine Wertetabelle mit jeweiligem Durchmesser und Umfang. Trage die Wertepaare in ein Koordinatensystem ein, die Durchmesser auf der x-Achse, die Umfänge auf der y-Achse.

Welcher Graph ergibt sich? (abgesehen von Messungenauigkeiten)

Wie passt dieser Graph zur Beziehung π=Ud\pi = \dfrac{\color{#009999}U}{\color{#cc0000}d} ?

Miss Durchmesser und Umfang weiterer Kreisformen aus dem Alltag, z. B. Klebebandrollen, Teller, usw. und berechne ihr Verhältnis.

Formeln mit π\pi

Flächeninhalt eines Kreises

A=πr2A=\pi r^2

Umfang eines Kreises

U=2πrU=2\pi r

Die Irrationalität von π\pi

π\pi ist irrational. Das heißt, man kann π\pi nicht als Bruch ab\frac{a}{b} aus ganzen Zahlen aa und bb schreiben.

Das bedeutet, dass π\pi unendlich viele Nachkommastellen hat, die sich nicht periodisch wiederholen.

Rechts sieht man die ersten Nachkommastellen von π\pi.

3,141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408128481117450284102701938521105559644622948954930381964428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273724587006606315588174881520920962829254091 ...

Bestimmung von π\pi

Der Computer hat hier 999999 Punkte erzeugt.

Es gibt viele verschiedene Möglichkeiten π\pi anzunähern (= immer genauer zu berechnen). Eine Möglichkeit ist die Monte-Carlo-Methode.

  1. Man zeichnet zuerst einen Kreis mit Radius rr in ein Quadrat mit Seitenlänge 2r2r ein.

  2. Dann lässt man den Computer zufällig Punkte in dem Quadrat erzeugen. (Man kann sich das vorstellen als würde man aus einer ausreichenden Höhe einen Stift immer wieder auf ein Blatt Papier fallen lassen, auf dem ein Quadrat und ein Kreis gemalt sind.)

  3. Man zählt dann wie viele Punkte auf den Kreis und wie viele auf das gesamte Quadrat fallen.

Hat der Kreis den Radius rr, gilt für den Flächeninhalt vom Kreis AKreis=πr2A_{\text{Kreis}}=\pi r^2 und vom Quadrat AQuadrat=(2r)2=4r2A_{\text{Quadrat}}=(2r)^2=4r^2.

Das Verhältnis der zufälligen Punkte im Kreis zu den Punkten im Quadrat entspricht ungefähr dem Verhältnis der Flächen:

AKreisAQuadratPunkte im KreisPunkte im Quadrat=811999\dfrac{A_{\text{Kreis}}}{A_{\text{Quadrat}}} \approx \dfrac{\text{Punkte im Kreis}}{\text{Punkte im Quadrat}} = \dfrac{811}{999}

πr24r2=π4811999\dfrac{\pi r^2}{4r^2}=\dfrac{\pi}{4} \approx \dfrac{811}{999}

π81199943,247\pi \approx \dfrac{811}{999} \cdot 4 \approx 3{,}247

Das Ergebnis weicht weniger als 4%4\% von π\pi ab. Möchte man ein genaueres Ergebnis, braucht man noch mehr zufällige Punkte.

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