1Motivation

Wir haben die Struktur der Vektorräume kennengelernt und verschiedene Eigenschaften von ihnen untersucht. Nun wollen wir Vektorräume nicht nur isoliert voneinander betrachten, sondern auch Abbildungen zwischen ihnen. Manche dieser Abbildungen vetragen sich gut mit der zugrundeliegenden Vektorraumstruktur und werden deswegen lineare Abbildungen oder Vektorraumhomomorphismen genannt.

Dass wir solche strukturerhaltenden Abbildungen untersuchen, ist eine typische Vorgehensweise der Algebra. Für viele algebraische Strukturen wie Gruppen, Ringe oder Körper untersucht die Algebra die dazugehörigen strukturerhaltenden Abbildungen zwischen den jeweiligen algebraischen Strukturen – Gruppenhomomorphismen, Ringhomomorphismen und Körperhomomorphismus. Bei Vektorräumen sind die strukturerhaltenden Abbildungen die linearen Abbildungen bzw. die Vektorraumhomomorphismen.

Seien also $V$ und $W$zwei Vektorräume. Wann ist eine Abbildung $f : V \to W$ strukturerhaltend bzw. verträgt sich gut mit den zugrundeliegenden Vektorraumstrukturen in $V$ und $W$? Wiederholen wir hierzu, was die Vektorraumstruktur ausmacht: Vektorräume sind Strukturen, in denen zwei Operationen möglich sind:



• Addition von Vektoren: Zwei Vektoren können miteinander addiert werden, wobei die Addition der Addition von Zahlen in ihren Eigenschaften ähnelt.

• Skalare Multiplikation: Vektoren können mit einem Skalierungsfaktor aus einem Körper skaliert (gestaucht, gestreckt oder gespiegelt) werden.