Beweischschrit: Wenn $gg$ linear ist, ist $t=0t=0$.

Sei zunächst $gg$ eine lineare Abbildung. Weil lineare Abbildungen den Ursprung auf den Ursprung abbilden, muss $g(0)=0g(0)=0$ gelten. Nun ist $g(0)=tg(0)=t$ und damit muss $t=0t=0$ sein.

Beweisschritt: Wenn $t=0t=0$ ist, ist $gg$ linear.

Sei nun $t=0t=0$. Wir zeigen $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}g:\backslash mathbb\; \{R\}\; \backslash to\; \backslash mathbb\; \{R\}$ , $x\mapsto m\cdot xx\backslash mapsto\; m\backslash cdot\; x$ ist linear:

Beweisschritt: Additivität

Seien $xx$ und $yy$ zwei beliebige reele Zahlen. Es ist

Beweisschritt: Homogenität

Sei $xx$ und $\lambda \backslash lambda$ zwei reele Zahlen. Es ist

Also ist $gg$ genau dann eine lineare Abbildung, wenn $t=0t=0$ ist.