Sei zunÀchst g eine lineare Abbildung. Weil lineare Abbildungen den Ursprung auf den Ursprung abbilden, muss g(0)=0 gelten. Nun ist g(0)=t und damit muss t=0 sein.
Beweisschritt: Wenn t=0 ist, ist g linear.
Sei nun t=0. Wir zeigen g:RâR , xâŠmâ x ist linear:
Beweisschritt: AdditivitÀt
Seien x und y zwei beliebige reele Zahlen. Es ist
g(x+y)
=
mâ (x+y)
â
Definition von g
=
mâ x+mâ y
â
Distributivgesetz
=
g(x)+g(y)
â
Definition von g
Beweisschritt: HomogenitÀt
Sei x und λ zwei reele Zahlen. Es ist
g(λâ x)
=
mâ (λâ x)
â
Definition von g
=
mâ λâ x
=
λâ (mâ x)
â
Definition von g
=
λâ g(x)
Also ist g genau dann eine lineare Abbildung, wenn t=0 ist.
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