Aufgaben zu linearen Abbildungen

Die Identität ist additiv:

Seien $v,w\in V$, dann gilt

$id(v+w)=v+w=id(v)+id(w).^{ }$

Die Identität ist homogen:

Seien $\lambda \in K$ und $v\in V$, dann gilt

$\operatorname {id} (\lambda \cdot v)=\lambda \cdot v=\lambda \cdot \operatorname {id} (v).$

$f$ ist additiv:

Seien $v_{1},v_{2}$ Vektoren in $V$. Dann gilt

$f$ ist homogen:

Sei $v\in V$ und sei $\lambda \in K$. So folgt

Damit folgt, die Nullabbildung linear ist.

Beweischschrit: Wenn $g$ linear ist, ist $t=0$.

Sei zunächst $g$ eine lineare Abbildung. Weil lineare Abbildungen den Ursprung auf den Ursprung abbilden, muss $g(0)=0$ gelten. Nun ist $g(0)=t$ und damit muss $t=0$ sein.

Beweisschritt: Wenn $t=0$ ist, ist $g$ linear.

Sei nun $t=0$. Wir zeigen $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ , $x\mapsto m\cdot x$ ist linear:

Beweisschritt: Additivität

Seien $x$ und $y$ zwei beliebige reele Zahlen. Es ist

Beweisschritt: Homogenität

Sei $x$ und $\lambda$ zwei reele Zahlen. Es ist

Also ist $g$ genau dann eine lineare Abbildung, wenn $t=0$ ist.

Wir prüfen nun, ob die Vektoraddition erhalten bleibt. Also ob für Vektoren $a,b\in\R^3$ gilt

${{f(a+b)=f(a)+f(b)}}$

Dies können wir direkt nachweisen:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ll} f(a+b)&= f\left( \begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}b_x\\b_y\\b_z \end{pmatrix}\right)= f\left( \begin{pmatrix}a_x +b_x\\a_y+b_y\\a_z+b_z \end{pmatrix}\right) \\[2em] & = \begin{pmatrix}a_x + b_x\\a_y +b_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_x\\a_y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}b_x\\b_y \end{pmatrix} \\[1.5em] & = f\left( \begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z \end{pmatrix}\right) + f\left( \begin{pmatrix}b_x\\b_y\\b_z \end{pmatrix}\right)=f(a)+f(b). \end{array}$

Nun überprüfen wir die Homogenität. Für alle $\lambda \in \R$ und $a\in\R^2$ soll gelten:

Es ist

Damit ist die Projektion $f$ eine lineare Abbildung.