Aufgaben zu linearen Abbildungen

Sei $V$ ein $K$-Vektorraum. Beweise, dass die Identität $\operatorname {id} :V\to V$ mit $\operatorname {id} (v)=v$ eine lineare Abbildung ist.

Seien $V$, $W$ zwei $K$-Vektorräume. Zeige, dass die Nullabbildung $f:V\to W$, die alle Vektoren $v\in V$ auf den Nullvektor $0_W$ abbildet, linear ist.

Sei $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ,$x\mapsto m\cdot x+t$ mit $m,t\in \mathbb {R}$. Zeige: $g$ ist genau dann eine lineare Abbildung, wenn $t=0$.

Lineare Abbildung zwischen Vektorräumen unterschiedlicher Dimension

Ein Beispiel einer linearen Abbildung zwischen zwei Vektorräumen mit unterschiedlicher Dimension ist die folgende Projektion des Raums $\mathbb{R}³$ auf die Ebene $\mathbb{R}²:$

$f: \mathbb{R}³ \to \mathbb{R}² ; \quad \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix}$