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Aufgaben zu linearen Abbildungen

  1. 1

    Sei¬†VV¬†ein¬†KK-Vektorraum. Beweise, dass die Identit√§t¬†id‚Ā°:V‚ÜíV\operatorname {id} :V\to V¬†mit¬†id‚Ā°(v)=v\operatorname {id} (v)=v¬†eine lineare Abbildung ist.

  2. 2

    Seien¬†VV, WW¬†zwei¬†KK-Vektorr√§ume. Zeige, dass die Nullabbildung¬†f:V‚ÜíWf:V\to W, die alle Vektoren¬†v‚ąąVv\in V¬†auf den Nullvektor¬†0W0_W¬†abbildet, linear ist.

  3. 3

    Sei¬†g:R‚ÜíRg:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x‚ܶm‚čÖx+tx\mapsto m\cdot x+t¬†mit¬†m,t‚ąąRm,t\in \mathbb {R}. Zeige:¬†gg¬†ist genau dann eine lineare Abbildung, wenn¬†t=0t=0.

  4. 4

    Lineare Abbildung zwischen Vektorräumen unterschiedlicher Dimension

    Ein Beispiel einer linearen Abbildung zwischen zwei Vektorräumen mit unterschiedlicher Dimension ist die folgende Projektion des Raums R3\mathbb{R}³ auf die Ebene R2:\mathbb{R}²:

    f:R3→R2;(xyz)↦(xy)f: \mathbb{R}³ \to \mathbb{R}² ; \quad \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix}


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