Aufgaben zum Drehen von Vektoren

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ mit $A\left(3\vert 1\right)$ und $B\left(4\vert 6\right)$ wird unter $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\;\xrightarrow{A;\;\alpha=90^\circ}\;\overrightarrow{\mathrm{AB'}}$ um seinen Fußpunkt $A$ gedreht. Ermittle die Koordinaten des Punktes $B^{'}$ rechnerisch.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren

1. Berechne den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ :

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\5\end{pmatrix}$

Aus dem Vektor $\vec{v}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ wird bei einer Drehung um $\alpha=90^\circ$ der Bildvektor $\vec{v'}=\begin{pmatrix}-y\\x\end{pmatrix}$

2. Drehe den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ um seinen Fußpunkt $A$ um $\alpha=90^\circ$ : $\overrightarrow{\mathrm{AB'}}=\begin{pmatrix}-5\\1\end{pmatrix}$

3. Berechnung der Koordinaten von $B'\left(x'\vert y'\right)$ durch Koordinatenvergleich:

$\overrightarrow{\mathrm{AB'}}=\begin{pmatrix}x'-3\\y'-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5\\1\end{pmatrix}$

Du erhältst zwei Gleichungen: $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl} x' & - & 3 & = & -5 &\Rightarrow x' & = & -2 & \\ y' & - & 1 &=& 1 & \Rightarrow y' & = & 2 & \end{array}$

Antwort: Der Punkt $B^{'}$ hat die Koordinaten $B'\left(-2\vert 2\right)$ .

Andere Möglichkeit der Berechnung: Aufstellen einer Vektorkette

In der nebenstehenden Abbildung kannst du folgende Vektorkette ablesen:

$\overrightarrow{\mathrm{OB'}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{AB'}}$

$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-5\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\2\end{pmatrix}$

Antwort: Der Punkt $B^{'}$ hat die Koordinaten $B'\left(-2\vert 2\right)$ .

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