Aufgaben zum Drehen von Vektoren

1
Gegeben sind die beiden Punkte $Z (0 | 0)$ und $P (3 | 2)$ .
1. Zeichne die beiden Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie mit einem Vektorpfeil.
2. Drehe den Vektor $\vec{ZP}$ um seinen Fußpunkt $Z$ um den Drehwinkel $α$ .
3. Lies die Koordinaten ab und gib den Vektor $\vec{ZP}$ und den Bildvektor $\vec{Z P^{'}}$ an.
4. Gegeben ist nun der Punkt $Q (18 | 31)$ . Was vermutest du, welche Koordinaten der Bildvektor $\vec{Z Q^{'}}$ bei einer Drehung um seinen Fußpunkt $Z$ um den Drehwinkel $α$ hat?
5. Was vermutest du, wie die Koordinaten des Bildvektors $\vec{v^{'}} = (\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array})$ lauten, wenn der Vektors $\vec{v} = (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$ um den Drehwinkel $α$ um seinen Fußpunkt $Z$ gedreht wird?
1. Der Drehwinkel beträgt $α = 90^{\circ}$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung von Vektoren
  Teilaufgabe 1
  Du hast den Vektor $\vec{ZP}$ in das Koordinatensystem eingezeichnet.
  Teilaufgabe 2
  1. Du hast mit dem Geodreieck im Punkt $Z$ den Winkel $α = 90^{\circ}$ (gegen den Uhrzeigersinn) angetragen.
  2. Mit dem Zirkel kannst du dann die Länge des Vektors $\vec{ZP}$ auf den Bildvektor $\vec{Z P^{'}}$ übertragen.
  Das Ergebnis ist in der Abbildung zu sehen.
  Der Vektor $\vec{ZP}$ wurde um $α = 90^{\circ}$ gedreht.
  Der Bildvektor ist der Vektor $\vec{Z P^{'}}$ .
  Teilaufgabe 3
  Die Regel zur Berechnung eines Vektors lautet "Spitze minus Fuß":
  $\vec{ZP} = (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array})$ und $\vec{Z P^{'}} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \end{array})$
  Teilaufgabe 4
  Schau dir die beiden Vektoren $\vec{ZP}$ und $\vec{Z P^{'}}$ an.
  Aus dem Vektor $\vec{ZP} = (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array})$ wurde der Vektor $\vec{Z P^{'}} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \end{array})$ .
  Du siehst, dass die Zahlenwerte gleich geblieben sind, ein Vorzeichen hat sich geändert und die x- und y-Koordinaten wurden vertauscht.
  Wende diese Erkenntnis nun auf den Vektor $\vec{ZQ}$ an:
  Antwort: Aus dem Vektor $\vec{ZQ} = (\begin{array}{c} 18 \\ 31 \end{array})$ wird der Vektor $\vec{Z Q^{'}} = (\begin{array}{c} - 31 \\ 18 \end{array})$ .
  Teilaufgabe 5
  Wende diese Erkenntnis nun auf den Vektor $\vec{v} = (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$ an.
  Antwort: Aus dem Vektor $\vec{v} = (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$ wird bei einer Drehung um $α = 90^{\circ}$ der Bildvektor $\vec{v^{'}} = (\begin{array}{c} - y \\ x \end{array})$
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2. Der Drehwinkel beträgt $α = - 90^{\circ}$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung von Vektoren
  Teilaufgabe 1
  Du hast den Vektor $\vec{ZP}$ in das Koordinatensystem eingezeichnet.
  Teilaufgabe 2
  1. Du hast mit dem Geodreieck im Punkt $Z$ den Winkel $α = - 90^{\circ}$ (im Uhrzeigersinn) angetragen.
  2. Mit dem Zirkel kannst du dann die Länge des Vektors $\vec{ZP}$ auf den Bildvektor $\vec{Z P^{'}}$ übertragen.
  Das Ergebnis ist in der Abbildung zu sehen. Der Vektor $\vec{ZP}$ wurde um $α = - 90^{\circ}$ gedreht.
  Der Bildvektor ist der Vektor $\vec{Z P^{'}}$ .
  Teilaufgabe 3
  Die Regel zur Berechnung eines Vektors lautet "Spitze minus Fuß":
  $\vec{ZP} = (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array})$ und $\vec{Z P^{'}} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \end{array})$
  Teilaufgabe 4
  Schau dir die beiden Vektoren $\vec{ZP}$ und $\vec{Z P^{'}}$ an.
  Aus dem Vektor $\vec{ZP} = (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array})$ wurde der Vektor $\vec{Z P^{'}} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \end{array})$ .
  Du siehst, dass die Zahlenwerte gleich geblieben sind, ein Vorzeichen hat sich geändert und die x- und y-Koordinaten wurden vertauscht.
  Wende diese Erkenntnis nun auf den Vektor $\vec{ZQ}$ an:
  Antwort: Aus dem Vektor $\vec{ZQ} = (\begin{array}{c} 18 \\ 31 \end{array})$ wird der Vektor $\vec{Z Q^{'}} = (\begin{array}{c} 31 \\ - 18 \end{array})$ .
  Teilaufgabe 5
  Wende diese Erkenntnis nun auf den Vektor $\vec{v} = (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$ an.
  Antwort: Aus dem Vektor $\vec{v} = (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$ wird bei einer Drehung um $α = - 90^{\circ}$ der Bildvektor $\vec{v^{'}} = (\begin{array}{c} y \\ - x \end{array})$ .
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3. Der Drehwinkel beträgt $α = 180^{\circ}$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung von Vektoren
  Teilaufgabe 1
  Du hast den Vektor $\vec{ZP}$ in das Koordinatensystem eingezeichnet.
  Teilaufgabe 2
  1. Du hast mit dem Geodreieck im Punkt $Z$ den Winkel $α = 180^{\circ}$ (im Uhrzeigersinn) angetragen.
  2. Mit dem Zirkel kannst du dann die Länge des Vektors $\vec{ZP}$ auf den Bildvektor $\vec{Z P^{'}}$ übertragen.
  Das Ergebnis ist in der Abbildung zu sehen. Der Vektor $\vec{ZP}$ wurde um $α = 180^{\circ}$ gedreht.
  Der Bildvektor ist der Vektor $\vec{Z P^{'}}$ .
  Teilaufgabe 3
  Die Regel zur Berechnung eines Vektors lautet "Spitze minus Fuß":
  $\vec{ZP} = (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array})$ und $\vec{Z P^{'}} = (\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \end{array})$
  Teilaufgabe 4
  Schau dir die beiden Vektoren $\vec{ZP}$ und $\vec{Z P^{'}}$ an.
  Aus dem Vektor $\vec{ZP} = (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array})$ wurde der Vektor $\vec{Z P^{'}} = (\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \end{array})$ .
  Du siehst, dass die Zahlenwerte gleich geblieben sind. Allerdings haben sich die Vorzeichen geändert.
  Wende diese Erkenntnis nun auf den Vektor $\vec{ZQ}$ an:
  Antwort: Aus dem Vektor $\vec{ZQ} = (\begin{array}{c} 18 \\ 31 \end{array})$ wird der Vektor $\vec{Z Q^{'}} = (\begin{array}{c} - 18 \\ - 31 \end{array})$
  Teilaufgabe 5
  Wende diese Erkenntnis nun auf den Vektor $\vec{v} = (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$ an.
  Antwort: Aus dem Vektor $\vec{v} = (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$ wird bei einer Drehung um $α = 180^{\circ}$ der Bildvektor $\vec{v^{'}} = (\begin{array}{c} - x \\ - y \end{array})$ .
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2
Der Vektor $\vec{AB}$ mit $A (3 | 1)$ und $B (4 | 6)$ wird unter $\vec{AB} \overset{\overset{}{A; α = 90^{\circ}}}{\to} \vec{A B^{'}}$ um seinen Fußpunkt $A$ gedreht. Ermittle die Koordinaten des Punktes $B^{'}$ rechnerisch.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren
1. Berechne den Vektor $\vec{AB}$ :
$\vec{AB} = (\begin{array}{c} 4 \\ 6 \end{array}) - (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 5 \end{array})$
Aus dem Vektor $\vec{v} = (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$ wird bei einer Drehung um $α = 90^{\circ}$ der Bildvektor $\vec{v^{'}} = (\begin{array}{c} - y \\ x \end{array})$
2. Drehe den Vektor $\vec{AB}$ um seinen Fußpunkt $A$ um $α = 90^{\circ}$ : $\vec{A B^{'}} = (\begin{array}{c} - 5 \\ 1 \end{array})$
3. Berechnung der Koordinaten von $B^{'} (x^{'} | y^{'})$ durch Koordinatenvergleich:
$\vec{A B^{'}} = (\begin{array}{c} x^{'} - 3 \\ y^{'} - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 5 \\ 1 \end{array})$
Du erhältst zwei Gleichungen: $\begin{array}{cccccccl} x^{'} & - & 3 & = & - 5 & \Rightarrow x^{'} & = & - 2 \\ y^{'} & - & 1 & = & 1 & \Rightarrow y^{'} & = & 2 \end{array}$
Antwort: Der Punkt $B^{'}$ hat die Koordinaten $B^{'} (- 2 | 2)$ .
Andere Möglichkeit der Berechnung: Aufstellen einer Vektorkette
In der nebenstehenden Abbildung kannst du folgende Vektorkette ablesen:
$\vec{O B^{'}} = \vec{OA} + \vec{A B^{'}}$
$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array}) + (\begin{array}{c} - 5 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 \\ 2 \end{array})$
Antwort: Der Punkt $B^{'}$ hat die Koordinaten $B^{'} (- 2 | 2)$ .