Aufgaben zum Drehen von Vektoren

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Gegeben sind die beiden Punkte $Z\left(0\vert0\right)$ und $P\left(3\vert2\right)$ .
1. Zeichne die beiden Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie mit einem Vektorpfeil.
2. Drehe den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{ZP}}$ um seinen Fußpunkt $Z$ um den Drehwinkel $\alpha$ .
3. Lies die Koordinaten ab und gib den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{ZP}}$ und den Bildvektor $\overrightarrow{\mathrm{ZP'}}$ an.
4. Gegeben ist nun der Punkt $Q\left(18\vert31\right)$ . Was vermutest du, welche Koordinaten der Bildvektor $\overrightarrow{\mathrm{ZQ'}}$ bei einer Drehung um seinen Fußpunkt $Z$ um den Drehwinkel $\alpha$ hat?
5. Was vermutest du, wie die Koordinaten des Bildvektors $\vec{v'}=\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$ lauten, wenn der Vektors $\vec{v}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ um den Drehwinkel $\alpha$ um seinen Fußpunkt $Z$ gedreht wird?
1. Der Drehwinkel beträgt $\alpha=90^{\circ}$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung von Vektoren
  Teilaufgabe 1
  Du hast den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{ZP}}$ in das Koordinatensystem eingezeichnet.
  Teilaufgabe 2
  1. Du hast mit dem Geodreieck im Punkt $Z$ den Winkel $\alpha=90^\circ$ (gegen den Uhrzeigersinn) angetragen.
  2. Mit dem Zirkel kannst du dann die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{ZP}}$ auf den Bildvektor $\overrightarrow{\mathrm{ZP'}}$ übertragen.
  Das Ergebnis ist in der Abbildung zu sehen.
  Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{ZP}}$ wurde um $\alpha=90^\circ$ gedreht.
  Der Bildvektor ist der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{ZP'}}$ .
  Teilaufgabe 3
  Die Regel zur Berechnung eines Vektors lautet "Spitze minus Fuß":
  $\overrightarrow{\mathrm{ZP}}=\begin{pmatrix}\textcolor{006400}{3}\\\textcolor{660099}{2}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}={\begin{pmatrix}\textcolor{006400}{3}\\\textcolor{660099}{2}\end{pmatrix}}$ und $\overrightarrow{\mathrm{ZP'}}=\begin{pmatrix}\textcolor{660099}{-2}\\\textcolor{006400}{3}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}={\begin{pmatrix}\textcolor{660099}{-2}\\\textcolor{006400}{3}\end{pmatrix}}$
  Teilaufgabe 4
  Schau dir die beiden Vektoren $\overrightarrow{\mathrm{ZP}}$ und $\overrightarrow{\mathrm{ZP'}}$ an.
  Aus dem Vektor $\overrightarrow{\mathrm{ZP}}=\begin{pmatrix}\textcolor{006400}{3}\\\textcolor{660099}{2}\end{pmatrix}$ wurde der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{ZP'}}={\begin{pmatrix}\textcolor{660099}{-2}\\\textcolor{006400}{3}\end{pmatrix}}$ .
  Du siehst, dass die Zahlenwerte gleich geblieben sind, ein Vorzeichen hat sich geändert und die x- und y-Koordinaten wurden vertauscht.
  Wende diese Erkenntnis nun auf den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{ZQ}}$ an:
  Antwort: Aus dem Vektor $\overrightarrow{\mathrm{ZQ}}=\begin{pmatrix}18\\31\end{pmatrix}$ wird der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{ZQ'}}=\begin{pmatrix}-31\\18\end{pmatrix}$ .
  Teilaufgabe 5
  Wende diese Erkenntnis nun auf den Vektor $\vec{v}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ an.
  Antwort: Aus dem Vektor $\vec{v}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ wird bei einer Drehung um $\alpha=90^\circ$ der Bildvektor $\vec{v'}=\begin{pmatrix}-y\\x\end{pmatrix}$
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2. Der Drehwinkel beträgt $\alpha=-90^{\circ}$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung von Vektoren
  Teilaufgabe 1
  Du hast den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{ZP}}$ in das Koordinatensystem eingezeichnet.
  Teilaufgabe 2
  1. Du hast mit dem Geodreieck im Punkt $Z$ den Winkel $\alpha=-90^\circ$ (im Uhrzeigersinn) angetragen.
  2. Mit dem Zirkel kannst du dann die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{ZP}}$ auf den Bildvektor $\overrightarrow{\mathrm{ZP'}}$ übertragen.
  Das Ergebnis ist in der Abbildung zu sehen. Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{ZP}}$ wurde um $\alpha=-90^\circ$ gedreht.
  Der Bildvektor ist der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{ZP'}}$ .
  Teilaufgabe 3
  Die Regel zur Berechnung eines Vektors lautet "Spitze minus Fuß":
  $\overrightarrow{\mathrm{ZP}}=\begin{pmatrix}\textcolor{006400}{3}\\\textcolor{660099}{2}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}={\begin{pmatrix}\textcolor{006400}{3}\\\textcolor{660099}{2}\end{pmatrix}}$ und $\overrightarrow{\mathrm{ZP'}}=\begin{pmatrix}\textcolor{660099}{2}\\\textcolor{006400}{-3}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}={\begin{pmatrix}\textcolor{660099}{2}\\\textcolor{006400}{-3}\end{pmatrix}}$
  Teilaufgabe 4
  Schau dir die beiden Vektoren $\overrightarrow{\mathrm{ZP}}$ und $\overrightarrow{\mathrm{ZP'}}$ an.
  Aus dem Vektor $\overrightarrow{\mathrm{ZP}}=\begin{pmatrix}\textcolor{006400}{3}\\\textcolor{660099}{2}\end{pmatrix}$ wurde der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{ZP'}}={\begin{pmatrix}\textcolor{660099}{2}\\\textcolor{006400}{-3}\end{pmatrix}}$ .
  Du siehst, dass die Zahlenwerte gleich geblieben sind, ein Vorzeichen hat sich geändert und die x- und y-Koordinaten wurden vertauscht.
  Wende diese Erkenntnis nun auf den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{ZQ}}$ an:
  Antwort: Aus dem Vektor $\overrightarrow{\mathrm{ZQ}}=\begin{pmatrix}18\\31\end{pmatrix}$ wird der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{ZQ'}}=\begin{pmatrix}31\\-18\end{pmatrix}$ .
  Teilaufgabe 5
  Wende diese Erkenntnis nun auf den Vektor $\vec{v}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ an.
  Antwort: Aus dem Vektor $\vec{v}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ wird bei einer Drehung um $\alpha=-90^\circ$ der Bildvektor $\vec{v'}=\begin{pmatrix}y\\-x\end{pmatrix}$ .
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3. Der Drehwinkel beträgt $\alpha=180^{\circ}$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung von Vektoren
  Teilaufgabe 1
  Du hast den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{ZP}}$ in das Koordinatensystem eingezeichnet.
  Teilaufgabe 2
  1. Du hast mit dem Geodreieck im Punkt $Z$ den Winkel $\alpha=180^\circ$ (im Uhrzeigersinn) angetragen.
  2. Mit dem Zirkel kannst du dann die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{ZP}}$ auf den Bildvektor $\overrightarrow{\mathrm{ZP'}}$ übertragen.
  Das Ergebnis ist in der Abbildung zu sehen. Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{ZP}}$ wurde um $\alpha=180^\circ$ gedreht.
  Der Bildvektor ist der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{ZP'}}$ .
  Teilaufgabe 3
  Die Regel zur Berechnung eines Vektors lautet "Spitze minus Fuß":
  $\overrightarrow{\mathrm{ZP}}=\begin{pmatrix}\textcolor{006400}{3}\\\textcolor{660099}{2}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}={\begin{pmatrix}\textcolor{006400}{3}\\\textcolor{660099}{2}\end{pmatrix}}$ und $\overrightarrow{\mathrm{ZP'}}=\begin{pmatrix}\textcolor{006400}{-3}\\\textcolor{660099}{-2}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}={\begin{pmatrix}\textcolor{006400}{-3}\\\textcolor{660099}{-2}\end{pmatrix}}$
  Teilaufgabe 4
  Schau dir die beiden Vektoren $\overrightarrow{\mathrm{ZP}}$ und $\overrightarrow{\mathrm{ZP'}}$ an.
  Aus dem Vektor $\overrightarrow{\mathrm{ZP}}=\begin{pmatrix}\textcolor{006400}{3}\\\textcolor{660099}{2}\end{pmatrix}$ wurde der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{ZP'}}={\begin{pmatrix}\textcolor{006400}{-3}\\\textcolor{660099}{-2}\end{pmatrix}}$ .
  Du siehst, dass die Zahlenwerte gleich geblieben sind. Allerdings haben sich die Vorzeichen geändert.
  Wende diese Erkenntnis nun auf den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{ZQ}}$ an:
  Antwort: Aus dem Vektor $\overrightarrow{\mathrm{ZQ}}=\begin{pmatrix}18\\31\end{pmatrix}$ wird der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{ZQ'}}=\begin{pmatrix}-18\\-31\end{pmatrix}$
  Teilaufgabe 5
  Wende diese Erkenntnis nun auf den Vektor $\vec{v}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ an.
  Antwort: Aus dem Vektor $\vec{v}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ wird bei einer Drehung um $\alpha= 180^\circ$ der Bildvektor $\vec{v'}=\begin{pmatrix}-x\\-y\end{pmatrix}$ .
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2
Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ mit $A\left(3\vert 1\right)$ und $B\left(4\vert 6\right)$ wird unter $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\;\xrightarrow{A;\;\alpha=90^\circ}\;\overrightarrow{\mathrm{AB'}}$ um seinen Fußpunkt $A$ gedreht. Ermittle die Koordinaten des Punktes $B'$ rechnerisch.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren
1. Berechne den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ :
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\5\end{pmatrix}$
Aus dem Vektor $\vec{v}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ wird bei einer Drehung um $\alpha=90^\circ$ der Bildvektor $\vec{v'}=\begin{pmatrix}-y\\x\end{pmatrix}$
2. Drehe den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ um seinen Fußpunkt $A$ um $\alpha=90^\circ$ : $\overrightarrow{\mathrm{AB'}}=\begin{pmatrix}-5\\1\end{pmatrix}$
3. Berechnung der Koordinaten von $B'\left(x'\vert y'\right)$ durch Koordinatenvergleich:
$\overrightarrow{\mathrm{AB'}}=\begin{pmatrix}x'-3\\y'-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5\\1\end{pmatrix}$
Du erhältst zwei Gleichungen: $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl} x' & - & 3 & = & -5 &\Rightarrow x' & = & -2 & \\ y' & - & 1 &=& 1 & \Rightarrow y' & = & 2 & \end{array}$
Antwort: Der Punkt $B'$ hat die Koordinaten $B'\left(-2\vert 2\right)$ .
Andere Möglichkeit der Berechnung: Aufstellen einer Vektorkette
In der nebenstehenden Abbildung kannst du folgende Vektorkette ablesen:
$\overrightarrow{\mathrm{OB'}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{AB'}}$
$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-5\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\2\end{pmatrix}$
Antwort: Der Punkt $B'$ hat die Koordinaten $B'\left(-2\vert 2\right)$ .