Aufgaben zum Drehen von Vektoren

Gegeben sind die beiden Punkte $Z\left(0\vert0\right)$ und $P\left(3\vert2\right)$ .

1. Zeichne die beiden Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie mit einem Vektorpfeil.

2. Drehe den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{ZP}}$ um seinen Fußpunkt $Z$ um den Drehwinkel $\alpha$ .

3. Lies die Koordinaten ab und gib den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{ZP}}$ und den Bildvektor $\overrightarrow{\mathrm{ZP'}}$ an.

4. Gegeben ist nun der Punkt $Q\left(18\vert31\right)$ . Was vermutest du, welche Koordinaten der Bildvektor $\overrightarrow{\mathrm{ZQ'}}$ bei einer Drehung um seinen Fußpunkt $Z$ um den Drehwinkel $\alpha$ hat?

5. Was vermutest du, wie die Koordinaten des Bildvektors $\vec{v'}=\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$ lauten, wenn der Vektors $\vec{v}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ um den Drehwinkel $\alpha$ um seinen Fußpunkt $Z$ gedreht wird?

Der Drehwinkel beträgt $\alpha=90^{\circ}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung von Vektoren
Teilaufgabe 1
Du hast den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{ZP}}$ in das Koordinatensystem eingezeichnet.
Teilaufgabe 2
1. Du hast mit dem Geodreieck im Punkt $Z$ den Winkel $\alpha=90^\circ$ (gegen den Uhrzeigersinn) angetragen.
2. Mit dem Zirkel kannst du dann die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{ZP}}$ auf den Bildvektor $\overrightarrow{\mathrm{ZP'}}$ übertragen.
Das Ergebnis ist in der Abbildung zu sehen.
Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{ZP}}$ wurde um $\alpha=90^\circ$ gedreht.
Der Bildvektor ist der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{ZP'}}$ .
Teilaufgabe 3
Die Regel zur Berechnung eines Vektors lautet "Spitze minus Fuß":
$\overrightarrow{\mathrm{ZP}}=\begin{pmatrix}\textcolor{006400}{3}\\\textcolor{660099}{2}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}={\begin{pmatrix}\textcolor{006400}{3}\\\textcolor{660099}{2}\end{pmatrix}}$ und $\overrightarrow{\mathrm{ZP'}}=\begin{pmatrix}\textcolor{660099}{-2}\\\textcolor{006400}{3}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}={\begin{pmatrix}\textcolor{660099}{-2}\\\textcolor{006400}{3}\end{pmatrix}}$
Teilaufgabe 4
Schau dir die beiden Vektoren $\overrightarrow{\mathrm{ZP}}$ und $\overrightarrow{\mathrm{ZP'}}$ an.
Aus dem Vektor $\overrightarrow{\mathrm{ZP}}=\begin{pmatrix}\textcolor{006400}{3}\\\textcolor{660099}{2}\end{pmatrix}$ wurde der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{ZP'}}={\begin{pmatrix}\textcolor{660099}{-2}\\\textcolor{006400}{3}\end{pmatrix}}$ .
Du siehst, dass die Zahlenwerte gleich geblieben sind, ein Vorzeichen hat sich geändert und die x- und y-Koordinaten wurden vertauscht.
Wende diese Erkenntnis nun auf den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{ZQ}}$ an:
Antwort: Aus dem Vektor $\overrightarrow{\mathrm{ZQ}}=\begin{pmatrix}18\\31\end{pmatrix}$ wird der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{ZQ'}}=\begin{pmatrix}-31\\18\end{pmatrix}$ .
Teilaufgabe 5
Wende diese Erkenntnis nun auf den Vektor $\vec{v}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ an.
Antwort: Aus dem Vektor $\vec{v}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ wird bei einer Drehung um $\alpha=90^\circ$ der Bildvektor $\vec{v'}=\begin{pmatrix}-y\\x\end{pmatrix}$
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Der Drehwinkel beträgt $\alpha=-90^{\circ}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung von Vektoren
Teilaufgabe 1
Du hast den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{ZP}}$ in das Koordinatensystem eingezeichnet.
Teilaufgabe 2
1. Du hast mit dem Geodreieck im Punkt $Z$ den Winkel $\alpha=-90^\circ$ (im Uhrzeigersinn) angetragen.
2. Mit dem Zirkel kannst du dann die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{ZP}}$ auf den Bildvektor $\overrightarrow{\mathrm{ZP'}}$ übertragen.
Das Ergebnis ist in der Abbildung zu sehen. Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{ZP}}$ wurde um $\alpha=-90^\circ$ gedreht.
Der Bildvektor ist der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{ZP'}}$ .
Teilaufgabe 3
Die Regel zur Berechnung eines Vektors lautet "Spitze minus Fuß":
$\overrightarrow{\mathrm{ZP}}=\begin{pmatrix}\textcolor{006400}{3}\\\textcolor{660099}{2}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}={\begin{pmatrix}\textcolor{006400}{3}\\\textcolor{660099}{2}\end{pmatrix}}$ und $\overrightarrow{\mathrm{ZP'}}=\begin{pmatrix}\textcolor{660099}{2}\\\textcolor{006400}{-3}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}={\begin{pmatrix}\textcolor{660099}{2}\\\textcolor{006400}{-3}\end{pmatrix}}$
Teilaufgabe 4
Schau dir die beiden Vektoren $\overrightarrow{\mathrm{ZP}}$ und $\overrightarrow{\mathrm{ZP'}}$ an.
Aus dem Vektor $\overrightarrow{\mathrm{ZP}}=\begin{pmatrix}\textcolor{006400}{3}\\\textcolor{660099}{2}\end{pmatrix}$ wurde der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{ZP'}}={\begin{pmatrix}\textcolor{660099}{2}\\\textcolor{006400}{-3}\end{pmatrix}}$ .
Du siehst, dass die Zahlenwerte gleich geblieben sind, ein Vorzeichen hat sich geändert und die x- und y-Koordinaten wurden vertauscht.
Wende diese Erkenntnis nun auf den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{ZQ}}$ an:
Antwort: Aus dem Vektor $\overrightarrow{\mathrm{ZQ}}=\begin{pmatrix}18\\31\end{pmatrix}$ wird der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{ZQ'}}=\begin{pmatrix}31\\-18\end{pmatrix}$ .
Teilaufgabe 5
Wende diese Erkenntnis nun auf den Vektor $\vec{v}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ an.
Antwort: Aus dem Vektor $\vec{v}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ wird bei einer Drehung um $\alpha=-90^\circ$ der Bildvektor $\vec{v'}=\begin{pmatrix}y\\-x\end{pmatrix}$ .
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Der Drehwinkel beträgt $\alpha=180^{\circ}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung von Vektoren
Teilaufgabe 1
Du hast den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{ZP}}$ in das Koordinatensystem eingezeichnet.
Teilaufgabe 2
1. Du hast mit dem Geodreieck im Punkt $Z$ den Winkel $\alpha=180^\circ$ (im Uhrzeigersinn) angetragen.
2. Mit dem Zirkel kannst du dann die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{ZP}}$ auf den Bildvektor $\overrightarrow{\mathrm{ZP'}}$ übertragen.
Das Ergebnis ist in der Abbildung zu sehen. Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{ZP}}$ wurde um $\alpha=180^\circ$ gedreht.
Der Bildvektor ist der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{ZP'}}$ .
Teilaufgabe 3
Die Regel zur Berechnung eines Vektors lautet "Spitze minus Fuß":
$\overrightarrow{\mathrm{ZP}}=\begin{pmatrix}\textcolor{006400}{3}\\\textcolor{660099}{2}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}={\begin{pmatrix}\textcolor{006400}{3}\\\textcolor{660099}{2}\end{pmatrix}}$ und $\overrightarrow{\mathrm{ZP'}}=\begin{pmatrix}\textcolor{006400}{-3}\\\textcolor{660099}{-2}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}={\begin{pmatrix}\textcolor{006400}{-3}\\\textcolor{660099}{-2}\end{pmatrix}}$
Teilaufgabe 4
Schau dir die beiden Vektoren $\overrightarrow{\mathrm{ZP}}$ und $\overrightarrow{\mathrm{ZP'}}$ an.
Aus dem Vektor $\overrightarrow{\mathrm{ZP}}=\begin{pmatrix}\textcolor{006400}{3}\\\textcolor{660099}{2}\end{pmatrix}$ wurde der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{ZP'}}={\begin{pmatrix}\textcolor{006400}{-3}\\\textcolor{660099}{-2}\end{pmatrix}}$ .
Du siehst, dass die Zahlenwerte gleich geblieben sind. Allerdings haben sich die Vorzeichen geändert.
Wende diese Erkenntnis nun auf den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{ZQ}}$ an:
Antwort: Aus dem Vektor $\overrightarrow{\mathrm{ZQ}}=\begin{pmatrix}18\\31\end{pmatrix}$ wird der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{ZQ'}}=\begin{pmatrix}-18\\-31\end{pmatrix}$
Teilaufgabe 5
Wende diese Erkenntnis nun auf den Vektor $\vec{v}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ an.
Antwort: Aus dem Vektor $\vec{v}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ wird bei einer Drehung um $\alpha= 180^\circ$ der Bildvektor $\vec{v'}=\begin{pmatrix}-x\\-y\end{pmatrix}$ .
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