Aufgaben zum Drehen von Vektoren

Gegeben sind die beiden Punkte $Z (0 | 0)$ und $P (3 | 2)$ .

1. Zeichne die beiden Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie mit einem Vektorpfeil.

2. Drehe den Vektor $\vec{ZP}$ um seinen Fußpunkt $Z$ um den Drehwinkel $α$ .

3. Lies die Koordinaten ab und gib den Vektor $\vec{ZP}$ und den Bildvektor $\vec{Z P^{'}}$ an.

4. Gegeben ist nun der Punkt $Q (18 | 31)$ . Was vermutest du, welche Koordinaten der Bildvektor $\vec{Z Q^{'}}$ bei einer Drehung um seinen Fußpunkt $Z$ um den Drehwinkel $α$ hat?

5. Was vermutest du, wie die Koordinaten des Bildvektors $\vec{v^{'}} = (\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array})$ lauten, wenn der Vektors $\vec{v} = (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$ um den Drehwinkel $α$ um seinen Fußpunkt $Z$ gedreht wird?

Der Drehwinkel beträgt $α = 90^{\circ}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung von Vektoren
Teilaufgabe 1
Du hast den Vektor $\vec{ZP}$ in das Koordinatensystem eingezeichnet.
Teilaufgabe 2
1. Du hast mit dem Geodreieck im Punkt $Z$ den Winkel $α = 90^{\circ}$ (gegen den Uhrzeigersinn) angetragen.
2. Mit dem Zirkel kannst du dann die Länge des Vektors $\vec{ZP}$ auf den Bildvektor $\vec{Z P^{'}}$ übertragen.
Das Ergebnis ist in der Abbildung zu sehen.
Der Vektor $\vec{ZP}$ wurde um $α = 90^{\circ}$ gedreht.
Der Bildvektor ist der Vektor $\vec{Z P^{'}}$ .
Teilaufgabe 3
Die Regel zur Berechnung eines Vektors lautet "Spitze minus Fuß":
$\vec{ZP} = (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array})$ und $\vec{Z P^{'}} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \end{array})$
Teilaufgabe 4
Schau dir die beiden Vektoren $\vec{ZP}$ und $\vec{Z P^{'}}$ an.
Aus dem Vektor $\vec{ZP} = (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array})$ wurde der Vektor $\vec{Z P^{'}} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \end{array})$ .
Du siehst, dass die Zahlenwerte gleich geblieben sind, ein Vorzeichen hat sich geändert und die x- und y-Koordinaten wurden vertauscht.
Wende diese Erkenntnis nun auf den Vektor $\vec{ZQ}$ an:
Antwort: Aus dem Vektor $\vec{ZQ} = (\begin{array}{c} 18 \\ 31 \end{array})$ wird der Vektor $\vec{Z Q^{'}} = (\begin{array}{c} - 31 \\ 18 \end{array})$ .
Teilaufgabe 5
Wende diese Erkenntnis nun auf den Vektor $\vec{v} = (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$ an.
Antwort: Aus dem Vektor $\vec{v} = (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$ wird bei einer Drehung um $α = 90^{\circ}$ der Bildvektor $\vec{v^{'}} = (\begin{array}{c} - y \\ x \end{array})$
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Der Drehwinkel beträgt $α = - 90^{\circ}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung von Vektoren
Teilaufgabe 1
Du hast den Vektor $\vec{ZP}$ in das Koordinatensystem eingezeichnet.
Teilaufgabe 2
1. Du hast mit dem Geodreieck im Punkt $Z$ den Winkel $α = - 90^{\circ}$ (im Uhrzeigersinn) angetragen.
2. Mit dem Zirkel kannst du dann die Länge des Vektors $\vec{ZP}$ auf den Bildvektor $\vec{Z P^{'}}$ übertragen.
Das Ergebnis ist in der Abbildung zu sehen. Der Vektor $\vec{ZP}$ wurde um $α = - 90^{\circ}$ gedreht.
Der Bildvektor ist der Vektor $\vec{Z P^{'}}$ .
Teilaufgabe 3
Die Regel zur Berechnung eines Vektors lautet "Spitze minus Fuß":
$\vec{ZP} = (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array})$ und $\vec{Z P^{'}} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \end{array})$
Teilaufgabe 4
Schau dir die beiden Vektoren $\vec{ZP}$ und $\vec{Z P^{'}}$ an.
Aus dem Vektor $\vec{ZP} = (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array})$ wurde der Vektor $\vec{Z P^{'}} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \end{array})$ .
Du siehst, dass die Zahlenwerte gleich geblieben sind, ein Vorzeichen hat sich geändert und die x- und y-Koordinaten wurden vertauscht.
Wende diese Erkenntnis nun auf den Vektor $\vec{ZQ}$ an:
Antwort: Aus dem Vektor $\vec{ZQ} = (\begin{array}{c} 18 \\ 31 \end{array})$ wird der Vektor $\vec{Z Q^{'}} = (\begin{array}{c} 31 \\ - 18 \end{array})$ .
Teilaufgabe 5
Wende diese Erkenntnis nun auf den Vektor $\vec{v} = (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$ an.
Antwort: Aus dem Vektor $\vec{v} = (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$ wird bei einer Drehung um $α = - 90^{\circ}$ der Bildvektor $\vec{v^{'}} = (\begin{array}{c} y \\ - x \end{array})$ .
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Der Drehwinkel beträgt $α = 180^{\circ}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung von Vektoren
Teilaufgabe 1
Du hast den Vektor $\vec{ZP}$ in das Koordinatensystem eingezeichnet.
Teilaufgabe 2
1. Du hast mit dem Geodreieck im Punkt $Z$ den Winkel $α = 180^{\circ}$ (im Uhrzeigersinn) angetragen.
2. Mit dem Zirkel kannst du dann die Länge des Vektors $\vec{ZP}$ auf den Bildvektor $\vec{Z P^{'}}$ übertragen.
Das Ergebnis ist in der Abbildung zu sehen. Der Vektor $\vec{ZP}$ wurde um $α = 180^{\circ}$ gedreht.
Der Bildvektor ist der Vektor $\vec{Z P^{'}}$ .
Teilaufgabe 3
Die Regel zur Berechnung eines Vektors lautet "Spitze minus Fuß":
$\vec{ZP} = (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array})$ und $\vec{Z P^{'}} = (\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \end{array})$
Teilaufgabe 4
Schau dir die beiden Vektoren $\vec{ZP}$ und $\vec{Z P^{'}}$ an.
Aus dem Vektor $\vec{ZP} = (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array})$ wurde der Vektor $\vec{Z P^{'}} = (\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \end{array})$ .
Du siehst, dass die Zahlenwerte gleich geblieben sind. Allerdings haben sich die Vorzeichen geändert.
Wende diese Erkenntnis nun auf den Vektor $\vec{ZQ}$ an:
Antwort: Aus dem Vektor $\vec{ZQ} = (\begin{array}{c} 18 \\ 31 \end{array})$ wird der Vektor $\vec{Z Q^{'}} = (\begin{array}{c} - 18 \\ - 31 \end{array})$
Teilaufgabe 5
Wende diese Erkenntnis nun auf den Vektor $\vec{v} = (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$ an.
Antwort: Aus dem Vektor $\vec{v} = (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})$ wird bei einer Drehung um $α = 180^{\circ}$ der Bildvektor $\vec{v^{'}} = (\begin{array}{c} - x \\ - y \end{array})$ .
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