Aufgaben zum dreidimensionalen Koordinatensystem

In der Abbildung siehst du eine gerade dreidimensionale Pyramide ABCDS.

1. Lies aus der Abbildung die Koordinaten aller Eckpunkte der Pyramide ab.

2. Zeichne die Grundfläche der Pyramide in ein 2-dimensionales Koordinatensystem.

3. Benenne die Vierecksform der Grundfläche.

4. Zeichne die Schnittfläche, die die y-z-Ebene aus der Pyramide ausschneidet.

5. Welche geometrische Form hat diese Schnittfläche? Begründe!

6. Welche Symmetrieebenen und Symmetrieachsen besitzt diese Pyramide?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: 3-dimensionales Koordinatensystem

Teilaufgabe 1

Die Koordinaten der Eckpunkte lauten $A\left(3|0|0\right)$ , $B\left(0\vert3\vert0\right)$ , $C\left(-3\vert0\vert0\right)$ , $D\left(0\vert-3\vert0\right)$ und $S\left(0\vert0\vert4\right)$ .

Teilaufgabe 2

Bei der Darstellung in der x-y-Ebene haben die Punkte $A,B,C$ und $D$ alle die gleiche z-Koordinate $0$ . Beim Zeichnen müssen nur die ersten beiden Koordinaten der Punkte berücksichtigt werden.

Das sieht dann so aus.

Teilaufgabe 3

Aus der Zeichnung erkennst du, dass die Grundfläche ein Quadrat ist.

Teilaufgabe 4

Bei der Darstellung in der y-z-Ebene haben die Punkte $B,D$ und $S$ alle die x-Koordinate $0$ . Beim Zeichnen müssen nur die letzten beiden Koordinaten der Punkte berücksichtigt werden.

Das sieht dann so aus.

Teilaufgabe 5

Die Schnittfläche, die die y-z-Ebene aus der Pyramide ausschneidet, ist ein gleichschenkliges Dreieck.

Es hat zwei gleich lange Seiten $\left[SB\right]$ und $\left[SD\right]$ mit je $5\;\text{cm}$ Länge.

Die Seite $\left[DB\right]$ ist $6\;\text{cm}$ lang.

Somit ist es kein gleichseitiges Dreieck.

Die Basiswinkel $\alpha \;\text{und}\;\beta$ sind gleich groß.

Schnittfläche ist ein gleichschenkliges Dreieck

Teilaufgabe 6

Ein Quadrat hat vier Symmetrieachsen. Die quadratische Pyramide muss demnach auch vier Symmetrieebenen haben. Je zwei Symmetrieebenen verlaufen entlang der Diagonalen des Quadrates und je zwei Symmetrieebenen verlaufen durch die Seitenmitten des Quadrates.

Die quadratische Pyramide hat nur eine Symmetrieachse, die z-Achse des Koordinatensystems.

In der Aufgabenstellung ist die Darstellung der Symmetrieebenen nicht verlangt. Sie dient hier nur zur besseren Veranschaulichung.

Die erste Symmetrieebene $E_{BDS}$ verläuft durch die Punkte $B,D,S$ .