$A\left(x\right)=\frac{8}{1+7\cdot e^{-\frac{x}{5}}}$

$A\left(0\right)=\frac{8}{1+7\cdot e^{-\frac{0}{5}}}=\frac{8}{1+7\cdot1}=\frac{8}{8}=1\ FE$

$\lim_{x\ \to\ \infty}A\left(x\right)=\frac{8}{1+7\cdot\lim_{x\ \to\infty}e^{-\frac{x}{5}}}=\frac{8}{1+0}=8FE$

Das Monotonieverhalten zeigt man mit der 1.Ableitung von $A\left(x\right)$

$A'\left(x\right)=8\cdot\frac{\left(-7\cdot e^{-\frac{x}{5}}\cdot\left(-\frac{1}{5}\right)\right)}{\left(1+7\cdot e^{-\frac{x}{5}}\right)^2}$

$A'\left(x\right)=\frac{56}{5}\cdot\frac{e^{-\frac{x}{5}}}{\left(1+7\cdot e^{-\frac{x}{5}}\right)^2}>0\Rightarrow A\ streng\ monoton\ wachsend._{ }$

Bestimme den Wert für $x_0$​, für den $A\left(x_0\right)=4$.

$\frac{8}{1+7\cdot e^{-\frac{x}{5}}}=4\Leftrightarrow\ 1+7\cdot e^{-\frac{x}{5}}=2\Leftrightarrow\ 7\cdot e^{-\frac{x}{5}}=1\$

$\Leftrightarrow\text{e}^{-\frac{x}{5}}=\frac{1}{7}\Leftrightarrow\ -\frac{x}{5}=\ln\left(\frac{1}{7}\right)\Leftrightarrow\ _{ }$

$-\frac{x}{5}=\ln\left(1\right)-\ln\left(7\right)\Leftrightarrow\ -\frac{x}{5}=-\ln\left(7\right)\Leftrightarrow$

$x=5\cdot\ln\left(7\right)\approx9{,}7$

Bestimme $A'\left(0\right)$

$A'\left(0\right)=\frac{56}{5}\cdot\frac{1}{\left(1+7\right)^2}=\frac{7\cdot8}{5\cdot8\cdot8}=\frac{7}{40}=0{,}175$

Zum Zeitpunkt $x_0=0{,}97$ ist die momentan Änderungsrate maximal. Somit wächst $A'\left(x\right)$ für$x<x_0$ und fällt $A'\left(x\right)$ für$x>x_0$​.Somit hat die 2. Ableitung von $A\left(x\right)$, nämlich $A''\left(x\right)\$an der Stelle $x=x_0$​ eine Nullstelle.

$A''\left(x\right)<0\ für\ x<x_0$ ⇒ A rechtsgekrümmt.

$A''\left(x\right)>0\ für\ x>x_0\Rightarrow$ A linksgekrümmt.

Insgesamt hat A an der Stelle $W\left(x_0;4\right)$ einen Wendepunkt.

Im Term für $A\left(x\right)$ wird die Zahl $-0{,}2=-\frac{1}{5}$​ durch eine kleinere Zahl ersetzt. Der Nenner 5 soll hier durch a ersetzt werden,

$-\frac{1}{5}>-\frac{1}{a}\Leftrightarrow\ \frac{1}{5}<\frac{1}{a}\Leftrightarrow\text{a}<5​.$

$A_5\left(0\right)=\frac{8}{1+7\cdot e^{-\frac{0}{5}}}=1FE$

$A_a\left(0\right)=\frac{8}{1+7\cdot e^{-\frac{0}{a}}}=1\ FE$ unabhängig von a.

da $\lim_{x\to\ \infty\ }e^{-x}=0$ ist auch der Grenzwert von $A\left(x\right)$ für unbegrenzt wachsendes x unabhängig von der Wahl von a.

Somit: $\lim_{x\ \to\infty\ }A\left(x\right)=8 FE$

$A'_a\left(x\right)=8\cdot\frac{\left(-7\cdot e^{-\frac{x}{a}}\cdot\left(-\frac{1}{a}\right)\right)}{\left(1+7\cdot e^{-\frac{x}{a}}\right)^2}=8\cdot7\cdot\frac{\left(\frac{1}{a}\cdot e^{-\frac{x}{a}}\right)}{\left(1+7\cdot e^{-\frac{x}{a}}\right)^2} ​$

Somit $A'_a\left(0\right)=56\cdot\frac{\left(\frac{1}{a}\cdot1\right)}{\left(1+7\cdot1\right)^2}=8\cdot7\cdot\frac{1}{a\cdot8\cdot8}=\frac{7}{8a}$

Da, wie oben angegeben $0<a<5$ wird der Nenner $8⋅a<40$ und somit der Quotient $A'_a\left(0\right)$ größer als $A_5'\left(0\right)$. Somit $A'_5\left(0\right)<A'_a(0)$. Das bedeutet, dass der Algenteppich zu Beginn der Beobachtung schneller wächst, wenn man die Zahl $-0{,}2=-\frac{1}{5}$​ durch eine kleinere Zahl ersetzt.

Es ist auch interessant, zu fragen, ob die Lage des Wendepunktes W sich durch Änderung von a verschiebt.

Dazu betrachtet man die 2. Ableitung von $A_a\left(x\right).$

$A_a\left(x\right)=\frac{8}{1+7\cdot e^{-\frac{x}{a}}}$

$A'_a\left(x\right)=8\cdot\frac{\left(-7\cdot e^{-\frac{x}{a}}\cdot\left(-\frac{1}{a}\right)\right)}{\left(1+7\cdot e^{-\frac{x}{a}}\right)^2}=8\cdot7\cdot\frac{\left(\frac{1}{a}\cdot e^{-\frac{x}{a}}\right)}{\left(1+7\cdot e^{-\frac{x}{a}}\right)^2}$

$A''_a\left(x\right)=\frac{56}{a}\cdot\frac{\left(e^{-\frac{x}{a}}\cdot\left(-\frac{1}{a}\right)\right)\cdot\left(1+7e^{-\frac{x}{a}}\right)^2-e^{-\frac{x}{a}}\cdot2\left(1+7e^{-\frac{x}{a}}\right)\cdot\left(-\frac{7}{a}e^{-\frac{x}{a}}\right)}{\left(1+7\cdot e^{-\frac{x}{a}}\right)^4}$

$A''_a\left(x\right)=\frac{56}{a}\cdot e^{-\frac{x}{a}}\cdot\frac{\left(-\frac{1}{a}\cdot\left(1+7e^{-\frac{x}{a}}\right)+2\cdot\frac{7}{a}\cdot e^{-\frac{x}{a}}\right)}{\left(1+7e^{-\frac{x}{5}}\right)^3}$

$A''_a\left(x\right)=\frac{56\cdot e^{-\frac{x}{a}}}{a}\cdot\frac{\left(-\frac{1}{a}-\frac{7}{a}e^{-\frac{x}{a}}+\frac{\left(2\cdot7\right)}{a}\cdot e^{-\frac{x}{a}}\right)}{\left(1+7e^{-\frac{x}{a}}\right)^3}$

$A''_a\left(x\right)=\frac{56\cdot e^{-\frac{x}{a}}}{a}\cdot\frac{-1+7\cdot e^{-\frac{x}{a}}}{a\cdot\left(1+7e^{-\frac{x}{a}}\right)^3}$

$A_a''\left(x\right)=0\Leftrightarrow\ -1+7\cdot e^{-\frac{x}{a}}=0\Leftrightarrow\ 7e^{-\frac{x}{a}}=1$

$A_a''\left(x\right)=0\Leftrightarrow\text{e}^{-\frac{x}{a}}=\frac{1}{7}\Leftrightarrow\ -\frac{x}{a}=\ln\left(\frac{1}{7}\right)\Leftrightarrow\text{-x}=a\cdot\ln\left(\frac{1}{7}\right)\Leftrightarrow\text{x}=a\cdot\ln\left(7\right)$

$y_W=\frac{8}{1+7\cdot e^{-a\cdot\frac{\ln\left(7\right)}{a}}}=\frac{8}{1+7\cdot e^{-\ln\left(7\right)}}=\frac{8}{1+7\cdot\frac{1}{7}}=\frac{8}{2}=4$

Somit verschiebt sich der Wendepunkt $W_a\left(a\cdot\ln\left(7\right);4\right)$ auf der Geraden $y=4$ mit veränderlichem a.

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