Teil 1 Stochastik - lernen mit Serlo!

Eine Gemeinde in den Bergen ist ein beliebtes Reiseziel bei Winterurlaubern. Als Wintersportaktivitäten stehen Skifahren (S), Schneeschuhwandern (W) und Rodeln (R) zur Auswahl. Erfahrungsgemäß fahren drei Viertel der Urlauber Ski. Nur ein Drittel der Skifahrer nutzen auch das Angebot zum Schneeschuhwandern, unter den Nicht-Skifahrern unternehmen 80 % Schneeschuhwanderungen. Unabhängig von der Entscheidung für Skifahren oder Schneeschuhwandern geht jeder vierte Winterurlauber auch rodeln. Die Wahl der Wintersportaktivitäten eines beliebig herausgegriffenen Urlaubers wird als Zufallsexperiment aufgefasst. Geben Sie einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit berechnet werden kann, dass ein Urlauber genau zwei der Wintersportaktivitäten nachgeht. Zeichnen Sie dazu ein Baumdiagramm.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln

Berechnen der Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse

Um die Werte der verschiedenen Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, die man für das Baumdiagramm braucht, hilft es, Vierfeldertafeln zu erstellen.

Aus der Aufgabe kann man folgendes ablesen:

die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Urlauber skifährt ( $S$ ), beträgt $\frac{3}{4}$
die Wahrscheinlichkeit, dass ein Skifahrer auch schneeschuhwandert (( $S$ ) und ( $W$ )) , beträgt ein Drittel von $\frac{3}{4}$ , also $\frac{1}{4}$
die Wahrscheinlichkeit, dass ein Nicht-Skifahrer schneeschuhwandert (( $\overline{S}$ ) und ( $W$ ), beträgt 80 $\%$ von $\frac{1}{4}$ , also $\frac{1}{5}$

Jetzt kann man die leeren Felder durch ausrechnen füllen.

Danach erstellt man eine Vierfeldertafel für die aus der vorherigen Vierfeldertafel hervorgehenden Ereignisse $S\cap{W}$ , $S\cap{\overline{W}}$ , $\overline{S}\cap{W}$ und $\overline{S}\cap{\overline{W}}$ , geschnitten mit den Ergebnissen Rodeln (R) und

Nicht Rodeln ( $\overline{R}$ ):

Baumdiagramm erstellen

Aus diesen Ergebnissen kann man jetzt ein vollständiges Baumdiagramm erstellen:

Berechnen der Wahrscheinlichkeit, dass ein Urlauber genau zwei der Wintersportaktivitäten nachgeht

Um diese Wahrscheinlichkeit zu berechnen, addiert man jetzt einfach die Wahrscheinlichkeiten aller Pfade des Baumdiagramms, die auf die Beschreibung passen. Davon gibt es drei: den zweiten, den dritten und den fünften von links, also $S\cap W \cap \overline R$ $\left(\frac{3}{16}\right)$ , $S\cap\overline{W}\cap R$ $\left(\frac{1}{8}\right)$ und $\overline{S}\cap W\cap R$ $\left(\frac{1}{20}\right)$ .

	$\displaystyle \frac{3}{16}+\frac{1}{8}+\frac{1}{20}$
	↓ Erweitere, um die Brüche auf den selben Nenner zu bringen.
$=$	$\displaystyle \frac{15}{80}+\frac{10}{80}+\frac{4}{80}$
	↓ Addiere die Zähler und behalte den Nenner bei.
$=$	$\displaystyle \frac{29}{80}$
	↓ Rechne um in die Dezimalschreibweise.
$=$	$\displaystyle 0{,}3625$

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Urlauber genau zwei der Wintersportaktivitäten nachgeht, beträgt also $36{,}25 \%$ .

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