Die Cramersche Regel ist eine Methode um mit Determinanten/2017 ein lineares Gleichungssystem/1749   zu lösen.

Vorgehen

Lineares Gleichungssystem

\def\arraystretch{1.25} \;\;\begin{array}{c}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}a}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}x}_1}+{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}b}{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}x}_2}+{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}c}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}x}_3}=\color[rgb]{0.5, 0.0, 0.5}{\color[rgb]{0.5, 0.0, 0.5}\mathrm b}_1\\{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}d}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}x}_1}+{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}e}{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}x}_2}+{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}f}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}x}_3}=\color[rgb]{0.5, 0.0, 0.5}{\color[rgb]{0.5, 0.0, 0.5}\mathrm b}_2\\{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}g}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}x}_1}+{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}h}{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}x}_2}+{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}i}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}x}_3}=\color[rgb]{0.5, 0.0, 0.5}{\color[rgb]{0.5, 0.0, 0.5}\mathrm b}_3\end{array}

Man wandelt das lineare Gleichungssystem in eine erweiterte Koeffizienten-Matrix /2009 um.

\def\arraystretch{1.25} \;\;\Rightarrow\;\;(\mathrm A\left|\mathrm b)\right.=\left(\begin{array}{ccc}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}\mathrm a}&{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}\mathrm b}&{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}\mathrm c}\\{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}\mathrm d}&{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}\mathrm e}&{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}\mathrm f}\\{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}\mathrm g}&{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}\mathrm h}&{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}\mathrm i}\end{array}\left|\begin{array}{c}\color[rgb]{0.5, 0.0, 0.5}{\color[rgb]{0.5, 0.0, 0.5}\mathrm b}_1\\\color[rgb]{0.5, 0.0, 0.5}{\color[rgb]{0.5, 0.0, 0.5}\mathrm b}_2\\\color[rgb]{0.5, 0.0, 0.5}{\color[rgb]{0.5, 0.0, 0.5}\mathrm b}_3\end{array}\right.\right)

Berechnung von $x_1,\;x_2,\;x_3$ :

\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}A=\begin{pmatrix}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}a}&{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}\mathrm b}&{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}\mathrm c}\\{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}\mathrm d}&{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}\mathrm e}&{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}\mathrm f}\\{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}g}&{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}\mathrm h}&{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}\mathrm i}\end{pmatrix}\\\Rightarrow\text{det}\;A=\text{det }\begin{pmatrix}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}a}&{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}\mathrm b}&{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}\mathrm c}\\{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}\mathrm d}&{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}\mathrm e}&{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}\mathrm f}\\{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}g}&{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}\mathrm h}&{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}\mathrm i}\end{pmatrix}\end{array} \text{det}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}\;}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}A}_{x_1}}=\text{det }\begin{pmatrix}\color[rgb]{0.5, 0.0, 0.5}{\color[rgb]{0.5, 0.0, 0.5}b}_1&{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}\mathrm b}&{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}\mathrm c}\\\color[rgb]{0.5, 0.0, 0.5}{\color[rgb]{0.5, 0.0, 0.5}\mathrm b}_2&{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}\mathrm e}&{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}\mathrm f}\\\color[rgb]{0.5, 0.0, 0.5}{\color[rgb]{0.5, 0.0, 0.5}b}_3&{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}\mathrm h}&{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}\mathrm i}\end{pmatrix} \text{det}{\color[rgb]{0.0, 1.0, 0.0}\;}{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}A}_{x_2}}=\text{det}\;\begin{pmatrix}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}a}&\color[rgb]{0.5, 0.0, 0.5}{\color[rgb]{0.5, 0.0, 0.5}\mathrm b}_1&{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}\mathrm c}\\{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}\mathrm d}&\color[rgb]{0.5, 0.0, 0.5}{\color[rgb]{0.5, 0.0, 0.5}\mathrm b}_2&{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}\mathrm f}\\{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}g}&\color[rgb]{0.5, 0.0, 0.5}{\color[rgb]{0.5, 0.0, 0.5}\mathrm b}_3&{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}\mathrm i}\end{pmatrix} \text{det}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}\;}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}A}_{x_3}}=\text{det }\begin{pmatrix}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}a}&{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}\mathrm b}&\color[rgb]{0.5, 0.0, 0.5}{\color[rgb]{0.5, 0.0, 0.5}\mathrm b}_1\\{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}\mathrm d}&{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}\mathrm e}&\color[rgb]{0.5, 0.0, 0.5}{\color[rgb]{0.5, 0.0, 0.5}\mathrm b}_2\\{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}g}&{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}\mathrm h}&\color[rgb]{0.5, 0.0, 0.5}{\color[rgb]{0.5, 0.0, 0.5}\mathrm b}_3\end{pmatrix}

Man [ berechnet die Determinante](/2019) . Man ersetzt die Spalte der \color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}x}_1 -Werte durch die Ergebnis-Spalte und berechnet davon die [Determinante](/2019) . Man ersetzt die Spalte der \color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}x}_2 -Werte durch die Ergebnis-Spalte und berechnet davon die Determinante. Man ersetzt die Spalte der \color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}x}_3 -Werte durch die Ergebnis-Spalte und berechnet davon die Determinante.

Die Lösungen  $x_1,\;x_2,\;x_3$ des gegebenen linearen Gleichungssystems erhätl man dann wie folgt:

{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}\mathrm x}_1}=\frac{\text{det}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}\;}\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}A}_{{\mathrm x}_1}}{\det\;A}

{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}x}_2}=\frac{\text{det}\;\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}{\color[rgb]{0.0, 0.5, 0.0}A}_{x_2}}{\det\;A}

{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}\mathrm x}_3}=\frac{\text{det}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}\;}\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}A}_{x_3}}{\det\;A}

/// Beispielaufgabe

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