🎓 Ui, schon Prüfungszeit? Hier geht's zur Mathe-Prüfungsvorbereitung.
Springe zum Inhalt oder Footer
SerloDie freie Lernplattform

Median

Der Median oder Zentralwert ist ein Mittelwert der Statistik. Er ist damit eine Alternative zum arithmetischen Mittel.

Definition

Der Median teilt eine Liste von Zahlen in zwei Hälften. Ein Wert m ist genau dann Median, wenn mindestens die Hälfte der Zahlen einen Wert m und die andere Hälfte einen Wert m hat.

Anschaulich wird der Median dadurch bestimmt, dass man die gegebenen Werte nach der Größe sortiert und immer die äußeren Werte wegstreicht.

Beispiel

Finde Median der Zahlen 30,7,5,24,14,18,4,500,27,1,19

Zunächst ordnen wir Zahlen nach der Größe:

1,4,5,7,14,18,19,24,27,30,500

Nun streichen wir jedes Mal die äußeren zwei Werte weg:

1,4,5,7,14,18,19,24,27,30,5001,4,5,7,14,18,19,24,27,30,5001,4,5,7,14,18,19,24,27,30,5001,4,5,7,14,18,19,24,27,30,5001,4,5,7,14,18,19,24,27,30,5001,4,5,7,14,18,19,24,27,30,500

Also ist 18 der Median der Zahlen 1,4,5,7,14,18,19,24,27,30,500.

Berechnung   

Wenn man also eine ungerade Anzahl an Zahlen oder Werten hat, so kann man genauso wie in Beispiel 1 vorgehen. Du musst einfach immer den größten und den kleinsten Wert streichen.  Der Median ist dann eindeutig.

              

Bei einer geraden Anzahl an Zahlen oder Werten bleiben nach dem Durchstreichen der äußeren Zahlen zwei Zahlen  m1undm2 in der Mitte übrig.

Dann kann man den Median als arithmetisches Mittel der beiden berechnen:

 m=m1+m22 .

Beachte

Wenn man jedoch möchte, dass der Median in der Liste vorkommt, verzichtet man auf die Berechnung und nennt m1 den Untermedian und m2 den Obermedian.

Übungsaufgaben:

Laden

Laden

Vergleich mit arithmetischen Mittel

Im Vergleich zum arithmetischen Mittel ist der Median weniger anfällig für Ausreißer (Werte, die entweder extrem groß oder extrem klein im Vergleich zu den restlichen sind). Sehr große und sehr kleine Werte haben also keine Auswirkungen auf den Median.

Zum Beispiel ist der Median von 1, 2, 3 gleich zwei und damit identisch zum arithmetischen Mittel. Wird nun einer der Randwerte noch kleiner bzw. größer, ändert sich der Median nicht. Das arithmetische Mittel kann sich aber stark ändern.

Wird zum Beispiel die 3 durch eine 9 ersetzt, ist das arithmetische Mittel 4 statt 2.

Anwendung

Wegen der oben beschriebenen Stabilität wird der Median benutzt, wenn Abweichungen erwartet werden. Bei der Auswertung von Experimenten kommen diese durch Messfehler zum Beispiel oft vor.

Wenn die Messwerte hingegen nahe beieinander liegen, wird das arithmetische Mittel bevorzugt.

Median von Verteilungen

Weiterführend kann man den Median auch für Zufallsvariablen X und deren Verteilungsfunktion FX definieren. In diesem Fall sind Mediane alle Elemente der Menge

{m|P(Xm)12undP(Xm)12}

Alternativ kann man den Median über die inverse Verteilungsfunktion definieren. In diesem Fall ist m=F1(12)

Du hast noch nicht genug vom Thema?

Hier findest du noch weitere passende Inhalte zum Thema:

Artikel


Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0Was bedeutet das?