Aufgaben zum Thema Unabhängigkeit von Ereignissen

…

Kim, Alex und Charlie versuchen einen Trick auf dem Skateboard. Da sie unterschiedlich lang skaten, ist ihre Wahrscheinlichkeit, den Trick zu schaffen, nicht gleich hoch. Sie schaffen ihn, unabhängig voneinander, mit einer Wahrscheinlichkeit von $0{,}4$ (Kim); $0{,}6$ (Alex) und $0{,}8$ (Charlie). Wie wahrscheinlich ist es, dass

keiner den Trick schafft?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Unabhängigkeit von Ereignissen

$\displaystyle P\left(\mathrm{"kein\ mal"}\right)$	$=$	$\displaystyle P\left(\overline{K}\right)\cdot P\left(\overline{A}\right)\cdot P\left(\overline{C}\right)$
	↓	Weder Kim, noch Alex, noch Charlie schaffen es. Verwende bei allen drei das Gegenereignis.
	$=$	$\displaystyle \left(1-0{,}4\right)\cdot \left(1-0{,}6\right)\cdot \left(1-0{,}8\right)$
	↓	Subtrahiere in den Klammern.
	$=$	$\displaystyle 0{,}6\cdot 0{,}4\cdot 0{,}2$
	↓	Multipliziere
	$=$	$\displaystyle 0{,}048$
	$=$	$\displaystyle 4{,}8\%$

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mindestens einer ihn schafft?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gegenereignisse

Bestimme die Lösung mit Hilfe des Gegenereignisses aus Teilaufgabe 1.

$\displaystyle P(\text{"mindestens einmal"})$	$=$	$\displaystyle 1-P(\text{"keinmal"})$
	↓	Setze die entsprechenden Werte ein.
	$=$	$\displaystyle 1-0{,}048$
	$=$	$\displaystyle 0{,}952$
	$=$	$\displaystyle 95{,}2\%$

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genau einer den Trick schafft?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Unabhängigkeit

Stelle alle Möglichkeiten für "genau einmal" auf, d.h. entweder es schafft es nur Kim und die beiden anderen nicht; oder nur Alex, oder nur Charlie. Auch hier ist die Unabhängigkeit der Grund, warum die Wahrscheinlichkeiten multipliziert werden dürfen.

$P(\text{"nur K trifft"})=P\left(K\right)\cdot P\left(\overline{A}\right)\cdot P\left(\overline{C}\right)$

$P(\text{"nur A trifft"})=P\left(\overline{K}\right)\cdot P\left(A\right)\cdot P\left(\overline{C}\right)$

$P(\text{"nur C trifft"})=P\left(\overline{K}\right)\cdot P\left(\overline{A}\right)\cdot P\left(C\right)$

Stelle die Gesamwahrscheinlichkeit für "genau einmal" auf, in dem du die drei Teilwahrscheinlichkeiten addierst.

$\displaystyle P\left(\text{"genau einmal"}\right)$	$=$	$\displaystyle P\left(A\right)\cdot P\left(\overline{B}\right)\cdot P\left(\overline{C}\right)+P\left(\overline{A}\right)\cdot P\left(B\right)\cdot P\left(\overline{C}\right)+P\left(\overline{A}\right)\cdot P\left(\overline{B}\right)\cdot P\left(C\right)$
	$=$	$\displaystyle 0{,}4\cdot 0{,}4\cdot 0{,}2+0{,}6\cdot 0{,}6\cdot 0{,}2+0{,}6\cdot 0{,}4\cdot 0{,}8$
	$=$	$\displaystyle 0{,}032+0{,}072+0{,}192$
	$=$	$\displaystyle 0{,}296$
	$=$	$\displaystyle 29{,}6\%$

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