B I - lernen mit Serlo!

Im $ℝ^{3}$ sind der Punkt $P (2 | 6 | - 8)$ , die Gerade $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 3 \end{array}) + μ \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ - 3 \end{array})$ und die Ebenen $E_{a} : 2 a x_{1} + a x_{2} - x_{3} = 4 a$ mit $a, μ \in ℝ$ gegeben.

Geben Sie für $a = 0$ die besondere Lage der Ebene $E_{0}$ im Koordinatensystem an. Der Punkt $P^{'}$ ist der an $E_{0}$ gespiegelte Punkt $P$ . Geben Sie die Koordinaten des Spiegelpunktes $P^{'}$ an. (3 BE)
Einsetzen von a = 0
$\begin{array}{l} E_{a} : 2 a x_{1} + a x_{2} - x_{3} = 4 a \\ E_{0} : 2 \cdot 0 \cdot x_{1} + 0 \cdot x_{2} - x_{3} = 4 \cdot 0 \\ E_{0} : x_{3} = 0 \end{array}$
$\Rightarrow$ Das entspricht der Gleichung der $x_{1}$ - $x_{2}$ -Ebene.
Bestimmung der Koordinaten des Spiegelpunktes P'
Der Punkt P' entsteht durch Spiegelung des Punktes $P$ an der $x_{1}$ - $x_{2}$ -Ebene.
Dabei bleiben die $x_{1}$ und $x_{2}$ Koordinaten unverändert. Die $x_{3}$ Koordinate ändert ihr Vorzeichen.
$P (2 | 6 | - 8) \Rightarrow P^{'} (2 | 6 | 8)$
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Setze a = 0 in die Ebene $E_{a}$ ein.
Besondere Lage $E_{0}$ bestimmen.
Bestimme die Koordinaten des Spiegelpunktes P'.
Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Ebenen $E_{a}$ und der Geraden $g$ in Abhängigkeit von $a$ . (5 BE)
Gerade g in $E_{a}$ einsetzen
$g : \begin{aligned} x_{1} & = - 1 + 2 μ \\ x_{2} & = 2 + 2 μ \\ x_{3} & = - 3 - 3 μ \end{aligned}$
$E_{a} : 2 a x_{1} + a x_{2} - x_{3} = 4 a$
$E_{a} : 2 a (- 1 + 2 μ) + a (2 + 2 μ) - (- 3 - 3 μ) = 4 a$
$E_{a} : - 2 a + 4 a μ + 2 a + 2 a μ + 3 + 3 μ = 4 a$
$E_{a} : 6 a μ + 3 μ + 3 = 4 a$
$E_{a} : μ (6 a + 3) = 4 a - 3$
Gleichung mit Fallunterscheidung lösen
Um die Gleichung $μ (6 a + 3) = 4 a - 3$ nach $μ$ auflösen zu können, muss durch $(6 a + 3)$ geteilt werden. Das geht nur, wenn die Klammer ungleich null ist:
$\begin{array}{r} (6 a + 3) = 0 \\ 6 a = - 3 \\ a = - 0,5 \end{array}$
Damit sind folgende Fälle zu unterscheiden:
1. Fall: $\begin{array}{l} a = - 0,5 \end{array}$
Dann gilt $\begin{array}{l} (6 a + 3) = 0 \end{array}$ und die Gleichung würde lauten:
$\begin{array}{l} μ \cdot 0 = - 5 \\ 0 = - 5 \to \end{array}$ Widerspruch!
Die Gleichung hat keine Lösung. Damit ist die Gerade g zur Ebene $E_{- 0,5}$ echt parallel.
2. Fall: $\begin{array}{l} a = - 0,5 \end{array}$
Dann gilt:
$μ = \frac{4 a - 3}{6 a + 3}$
Die Gleichung ist somit eindeutig lösbar und die Gerade g schneidet die Ebene $E_{a}$ in einem Punkt.
Somit wurde die gegenseitige Lage der Ebene $E_{a}$ und der Gerade $g$ in Abhängigkeit von $a$ untersucht.
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Setze die Gerade $g$ in die Koordinatengleichung der Ebene $E_{a}$ ein.
Löse die Gleichung mit einer Fallunterscheidung von $a$ auf.
Die Ebene $F$ enthält den Punkt $P$ und die Gerade $g$ . Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von $F$ . (5 BE)
$[Mögliches Ergebnis: F : 2 x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} = - 6]$
Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Ebenen $E_{a}$ und $F$ in Abhängigkeit von $a$ . (5 BE)
Bestimmen Sie für $a = 1$ die Gleichung der Schnittgeraden $s$ der beiden Ebenen $E_{1}$ und $F$ . (4 BE)
Fertigen Sie eine aussagekräftige Skizze mit $E_{1}$ , $F$ , $g$ und $s$ an. Verwenden Sie dazu kein Koordinatensystem. (3 BE)

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

Einsetzen von a = 0

Bestimmung der Koordinaten des Spiegelpunktes P'

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Gerade g in Ea einsetzen

Gleichung mit Fallunterscheidung lösen

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Gerade g in $E_{a}$ einsetzen