B I - lernen mit Serlo!

Im $\mathbb{R}^3$ sind der Punkt $P (2 \vert 6 \vert -8)$ , die Gerade $g: \vec{x}= \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\-3\end{pmatrix}+ \mu \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}$ und die Ebenen $E_a: 2ax_1+ax_2-x_3 = 4a$ mit $a, \mu \in \mathbb{R}$ gegeben.

Geben Sie für $a=0$ die besondere Lage der Ebene $E_0$ im Koordinatensystem an. Der Punkt $P'$ ist der an $E_0$ gespiegelte Punkt $P$ . Geben Sie die Koordinaten des Spiegelpunktes $P'$ an. (3 BE)
Einsetzen von a = 0
$E_a: 2ax_1 + ax_2 - x_3 = 4a \\ E_0: 2\cdot0\cdot x_1 + 0\cdot x_2 - x_3 = 4 \cdot 0 \\ E_0: x_3 = 0$
$\Rightarrow \$ Das entspricht der Gleichung der $x_1$ - $x_2$ -Ebene.
Bestimmung der Koordinaten des Spiegelpunktes P'
Der Punkt P' entsteht durch Spiegelung des Punktes $P$ an der $x_1$ - $x_2$ -Ebene.
Dabei bleiben die $x_1$ und $x_2$ Koordinaten unverändert. Die $x_3$ Koordinate ändert ihr Vorzeichen.
$P(2|6|-8) \ \ \Rightarrow \ \ P'(2|6|8)$
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Setze a = 0 in die Ebene $E_a$ ein.
Besondere Lage $E_0$ bestimmen.
Bestimme die Koordinaten des Spiegelpunktes P'.
Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Ebenen $E_a$ und der Geraden $g$ in Abhängigkeit von $a$ . (5 BE)
Die Ebene $F$ enthält den Punkt $P$ und die Gerade $g$ . Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von $F$ . (5 BE)
$\left[ \text{Mögliches Ergebnis:} \;F:2x_1+x_2+2x_3=-6\right]$
Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Ebenen $E_a$ und $F$ in Abhängigkeit von $a$ . (5 BE)
Bestimmen Sie für $a = 1$ die Gleichung der Schnittgeraden $s$ der beiden Ebenen $E_1$ und $F$ . (4 BE)
Fertigen Sie eine aussagekräftige Skizze mit $E_1$ , $F$ , $g$ und $s$ an. Verwenden Sie dazu kein Koordinatensystem. (3 BE)

Einsetzen von a = 0

Bestimmung der Koordinaten des Spiegelpunktes P'

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