B I - lernen mit Serlo!

Im $\mathbb{R}^3$ sind der Punkt $P (2 \vert 6 \vert -8)$ , die Gerade $g: \vec{x}= \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\-3\end{pmatrix}+ \mu \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}$ und die Ebenen $E_{a} : 2 a x_{1} + a x_{2} - x_{3} = 4 a$ mit $a, \mu \in \mathbb{R}$ gegeben.

Geben Sie für $a = 0$ die besondere Lage der Ebene $E_{0}$ im Koordinatensystem an. Der Punkt $P^{'}$ ist der an $E_{0}$ gespiegelte Punkt $P$ . Geben Sie die Koordinaten des Spiegelpunktes $P^{'}$ an. (3 BE)
Einsetzen von a = 0
$E_a: 2ax_1 + ax_2 - x_3 = 4a \\ E_0: 2\cdot0\cdot x_1 + 0\cdot x_2 - x_3 = 4 \cdot 0 \\ E_0: x_3 = 0$
$\Rightarrow \$ Das entspricht der Gleichung der $x_{1}$ - $x_{2}$ -Ebene.
Bestimmung der Koordinaten des Spiegelpunktes P'
Der Punkt P' entsteht durch Spiegelung des Punktes $P$ an der $x_{1}$ - $x_{2}$ -Ebene.
Dabei bleiben die $x_{1}$ und $x_{2}$ Koordinaten unverändert. Die $x_{3}$ Koordinate ändert ihr Vorzeichen.
$P(2|6|-8) \ \ \Rightarrow \ \ P'(2|6|8)$
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Setze a = 0 in die Ebene $E_{a}$ ein.
Besondere Lage $E_{0}$ bestimmen.
Bestimme die Koordinaten des Spiegelpunktes P'.
Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Ebenen $E_{a}$ und der Geraden $g$ in Abhängigkeit von $a$ . (5 BE)
Gerade g in $E_{a}$ einsetzen
$\def\arraystretch{1.25} g: \begin{aligned} x_1 &= -1 + 2\mu \\ x_2 &= 2 + 2\mu \\ x_3 &= -3 -3\mu \end{aligned}$
$E_{a\ }:\ 2ax_1\ +\ ax_2\ -\ x_3\ =\ 4a$
$E_{a\ }:2a\left(-1+2\mu\right)+a\left(2+2\mu\right)-\left(-3-3\mu\right)=4a$
$E_a\ :\ -2a\ +\ 4a\mu\ +\ 2a\ +\ 2a\mu\ +3\ +3\mu\ = 4a$
$E_a\ :\ 6a\mu\ +\ 3\mu\ +3\ = 4a$
$E_a\ :\ \mu\left(6a + 3\right) = 4a - 3$
Gleichung mit Fallunterscheidung lösen
Um die Gleichung $\mu\left(6a + 3\right) = 4a - 3$ nach $μ \mu$ auflösen zu können, muss durch $(6 a + 3)$ geteilt werden. Das geht nur, wenn die Klammer ungleich null ist:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned} \left(6a + 3\right)\ \cancel{=}\ 0\ \\ 6a\ \cancel{=}\ -3\ \\ a\ \cancel{=}\ -0{,}5\ \end{aligned}$
Damit sind folgende Fälle zu unterscheiden:
1. Fall: $a\ =\ -0{,}5\ \\$
Dann gilt $\left(6a + 3\right)\ =\ 0\ \\$ und die Gleichung würde lauten:
$\mu\ \cdot 0\ =\ -5\ \\ 0\ = -5\ \rightarrow$ Widerspruch!
Die Gleichung hat keine Lösung. Damit ist die Gerade g zur Ebene $E_{-0{,}5}$ echt parallel.
2. Fall: $a\ \cancel{=}\ -0{,}5\ \\$
Dann gilt:
$\mu = \dfrac{4a - 3}{6a + 3}$
Die Gleichung ist somit eindeutig lösbar und die Gerade g schneidet die Ebene $E_{a}$ in einem Punkt.
Somit wurde die gegenseitige Lage der Ebene $E_{a}$ und der Gerade $g$ in Abhängigkeit von $a$ untersucht.
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Setze die Gerade $g$ in die Koordinatengleichung der Ebene $E_{a}$ ein.
Löse die Gleichung mit einer Fallunterscheidung von $a$ auf.
Die Ebene $F$ enthält den Punkt $P$ und die Gerade $g$ . Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von $F$ . (5 BE)
$\left[ \text{Mögliches Ergebnis:} \;F:2x_1+x_2+2x_3=-6\right]$
Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Ebenen $E_{a}$ und $F$ in Abhängigkeit von $a$ . (5 BE)
Bestimmen Sie für $a = 1$ die Gleichung der Schnittgeraden $s$ der beiden Ebenen $E_{1}$ und $F$ . (4 BE)
Fertigen Sie eine aussagekräftige Skizze mit $E_{1}$ , $F$ , $g$ und $s$ an. Verwenden Sie dazu kein Koordinatensystem. (3 BE)

Einsetzen von a = 0

Bestimmung der Koordinaten des Spiegelpunktes P'

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Gerade g in EaE_aEa​ einsetzen

Gleichung mit Fallunterscheidung lösen

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Gerade g in $E_{a}$ einsetzen