Für die richtige Lösung dieser Aufgabe muss man die beiden Pfadregeln für Wahrscheinlichkeiten kennen: Die sogenannte Produktregel für die Wahrscheinlichkeit entlang eines Pfades und die Summenregel für Ereignisse, die sich aus mehreren Pfaden zusammensetzen.

Die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis $\overline{D}$ setzt sich aus zwei Zweigen zusammen: $P(\overline{D})=P(C\cap \overline{D})+P(\overline{C}\cap \overline{D})$, wobei keiner der beiden Summanden direkt gegeben ist. Allerdings lassen sich dem Baumdiagramm die beiden Werte $P(C\cap D)=\frac{2}{5}$ und $P(\overline{C}\cap D)=\frac{1}{10}$ entnehmen, die in der Summe gerade $P(D)=\frac{2}{5}+\frac{1}{10}=\frac{1}{2}$ ergeben.

Über das Gegenereignis erhält man somit $P(\overline{D})=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$.

Stochastische Unabhängigkeit der Ereignisse $C$ und $D$ wird rechnerisch nachgewiesen, indem die Gleichheit von $P(C)\cdot P(D)$ und $P(C\cap D)$ gezeigt wird:

Hierzu fehlt noch $P(C)$.

Dazu wird die Produktregel auf den 1. Pfad angewandt:

$\begin{array}{rl}P(C\cap D)& =P(C)\cdot P_C(D)\\ P(C)& =\frac{P(C\cap D)}{P_C(D)}\\ P(C)& =\frac{\frac{2}{5}}{\frac{3}{5}}=\frac{2}{3}\end{array}$

Für das Produkt $P(C)\cdot P(D)$ ergibt sich also: $P(C)\cdot P(D)=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{3}$ während andererseits $P(C\cap D)=\frac{2}{5}$ . Aus der Ungleichheit der beiden Ergebnisse folgt die (stochastische) Abhängigkeit der beiden Ereignisse $C$ und $D$.

Für das Schnittmengenereignis $C\cap D$ gibt es wegen der Forderung nach stochastischer Unabhängigkeit nun zwei Berechnungsansätze:

$\begin{array}{rl}P(C\cap D)& =P(C)\cdot P(D)\\ P(C\cap D)& =P(C)\cdot P_C(D)\end{array}$

Aus dem Vergleich ergibt sich:

$\begin{array}{rl}P(D)& =P_C(D)\\ \frac{2}{5}+x& =\frac{3}{5}\end{array}$

Wie in Teilaufgabe a) schon erläutert, setzt sich $P(D)$ aus zwei Zweigen zusammen. Dabei ist $x$ nun die Wahrscheinlichkeit des Zweiges $P(\overline{C}\cap D)$, die an die Stelle von $\frac{1}{10}$ tritt.

Anstelle des Werts $\frac{1}{10}$ ist also der Wert $\frac{1}{5}$ zu wählen!