Für die richtige Lösung dieser Aufgabe muss man die beiden Pfadregeln für Wahrscheinlichkeiten kennen: Die sogenannte Produktregel für die Wahrscheinlichkeit entlang eines Pfades und die Summenregel für Ereignisse, die sich aus mehreren Pfaden zusammensetzen.

Die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis $\overline{D}$ setzt sich aus zwei Zweigen zusammen: $P(\overline{D}) = P(C\cap \overline{D})+P(\overline{C}\cap \overline{D})$, wobei keiner der beiden Summanden direkt gegeben ist. Allerdings lassen sich dem Baumdiagramm die beiden Werte $P(C\cap D)=\frac25$ und $P(\overline{C}\cap D)=\frac{1}{10}$ entnehmen, die in der Summe gerade $P(D)=\frac25+\frac{1}{10}=\frac12$ ergeben.

Über das Gegenereignis erhält man somit $P(\overline{D}) =1-\frac12 =\frac12$.

Stochastische Unabhängigkeit der Ereignisse $C$ und $D$ wird rechnerisch nachgewiesen, indem die Gleichheit von $P(C)\cdot P(D)$ und $P(C\cap D)$ gezeigt wird:

Hierzu fehlt noch $P(C)$.

Dazu wird die Produktregel auf den 1. Pfad angewandt:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned} P(C\cap D) &= P(C) \cdot P_C(D) \\ P(C) &= \frac{P(C\cap D)}{P_C(D)} \\ P(C) &= \frac{\frac25}{\frac35} = \frac23 \end{aligned}$

Für das Produkt $P(C)\cdot P(D)$ ergibt sich also: $P(C)\cdot P(D) = \frac23\cdot\frac12 = \frac13$ während andererseits $P(C\cap D) =\frac25$ . Aus der Ungleichheit der beiden Ergebnisse folgt die (stochastische) Abhängigkeit der beiden Ereignisse $C$ und $D$.

Für das Schnittmengenereignis $C\cap D$ gibt es wegen der Forderung nach stochastischer Unabhängigkeit nun zwei Berechnungsansätze:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned} P(C\cap D) &= P(C)\cdot P(D) \\ P(C\cap D) &= P(C)\cdot P_C(D) \end{aligned}$

Aus dem Vergleich ergibt sich:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned} P(D) &= P_C(D) \\ \frac25 + x &= \frac35 \end{aligned}$

Wie in Teilaufgabe a) schon erläutert, setzt sich $P(D)$ aus zwei Zweigen zusammen. Dabei ist $x$ nun die Wahrscheinlichkeit des Zweiges $P(\overline{C}\cap D)$, die an die Stelle von $\frac{1}{10}$ tritt.

Anstelle des Werts $\frac{1}{10}$ ist also der Wert $\frac15$ zu wählen!