Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.

Gegeben ist die in $ℝ$ definierte Funktion $f$ mit $f (x) = e^{2 x + 1}$ . Zeigen Sie, dass $f$ umkehrbar ist, und ermitteln Sie einen Term der Umkehrfunktion von $f$ . (4P)

Die gegebene Funktion ist stetig und differenzierbar. Eine differenzierbare Funktion ist umkehrbar, wenn sie streng monoton ist.

$f (x) = e^{2 x + 1} \Rightarrow f^{'} (x) = 2 \cdot e^{2 x + 1} .$

Da der Term der 1. Ableitung ein Produkt ist mit den positiven Faktoren $2 > 0 und e^{2 x + 1} > 0$ , ist $f^{'} (x) > 0$ .

Also ist die gegebene Funktion streng monoton wachsend.

Bestimmung des Term der Umkehrfunktion:

$y = e^{2 x + 1} \Leftrightarrow \ln (y) = 2 x + 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2} \cdot (\ln y - 1)$

Umkehrfunktion: $f^{- 1} (x) = \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) - 1)$

Es ist hier eine verkettete Funktion vorgelegt. Die äußere Funktion ist die $e$ -Funktion und die innere Funktion ist $2 \cdot x + 1$ .

Man muss die Ableitungsregel für verkettete Funktionen anwenden können.

Differenzierbare Funktionen sind umkehrbar, wenn sie streng monoton sind

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt.

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