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Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

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Die Aufgabenstellung findest du hier  zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Gegeben ist die in R\mathbb{R} definierte Funktion ff mit f(x)=e2x+1f(x)=e^{2x+1}. Zeigen Sie, dass ff umkehrbar ist, und ermitteln Sie einen Term der Umkehrfunktion von ff. (4P)

  2. 2

    Wir betrachten im Folgenden zwei verschiedene Funktionen

    1. Gegeben ist die Funktion g:x(x29x)2xg: x \mapsto(x^2-9x)\cdot \sqrt{2-x} mit maximaler Definitionsmenge DgD_g. Geben Sie DgD_g und alle Nullstellen von gg an. (3P)

    2. Gegeben ist die in R \mathbb{R} definierte Funktion h:xln(1x2+1)h:x\mapsto\ln(\dfrac{1}{x^2+1}). Begründen Sie, dass die Wertemenge von hh das Intervall ];0]]- \infty;0] ist. (3P)

  3. 3

    Betrachtet wird die in R\mathbb{R} definierte Funktion ff mit f(x)=1x3f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^3}}.

    1. Zeigen Sie, dass die in R \mathbb{R} definierte Funktion FF mit F(x)=2xF(x)=-\dfrac{2}{\sqrt{x}} eine Stammfunktion von ff ist. (2P)

    2. Der Graph von ff schließt mit der x-Achse sowie den Geraden mit den Gleichungen x=1x=1 und x=bx=b mit b>1b\gt1 ein Flächenstück ein. Bestimmen Sie denjenigen Wert von bb, für den dieses Flächenstück den Inhalt 1 hat. (3P)


  4. 4

    Gegeben sind die in R \mathbb{R} definierte Funktion ff mit f(x)=18x3f(x)=\dfrac{1}{8}x^3 sowie die Punkte Qa(af(a))Q_a(a|f(a)) für aR a\in \mathbb{R}. Die Abbildung zeigt den Graphen von ff sowie die Punkte P(02)P(0|2) und Q2Q_2.

    Bild
    1. Berechnen Sie für a0a \neq0 die Steigung mam_a der Gerade durch die Punkte PP und QaQ_a in Abhängigkeit von aa an. (2P)

      (zur Kontrolle: ma=a3168am_a=\dfrac{a^3-16}{8a})

    2. Die Tangente an den Graphen von ff im Punkt QaQ_a wird mit tat_a bezeichnet. Bestimmen Sie rechnerisch denjenigen Wert von aRa\in\mathbb{R}, für den tat_a durch PP verläuft. (3P)



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