Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

🎓 Prüfungsbereich für Bayern

Weitere Bundesländer & Aufgaben:
Mathe- Prüfungen Startseite

Austausch & Hilfe:
Prüfungen-Discord

Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

1
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Gegeben ist die in $ℝ$ definierte Funktion $f$ mit $f (x) = e^{2 x + 1}$ . Zeigen Sie, dass $f$ umkehrbar ist, und ermitteln Sie einen Term der Umkehrfunktion von $f$ . (4P)

Die gegebene Funktion ist stetig und differenzierbar. Eine differenzierbare Funktion ist umkehrbar, wenn sie streng monoton ist.
$f (x) = e^{2 x + 1} \Rightarrow f^{'} (x) = 2 \cdot e^{2 x + 1} .$
Da der Term der 1. Ableitung ein Produkt ist mit den positiven Faktoren $2 > 0 und e^{2 x + 1} > 0$ , ist $f^{'} (x) > 0$ .
Also ist die gegebene Funktion streng monoton wachsend.
Bestimmung des Term der Umkehrfunktion:
$y = e^{2 x + 1} \Leftrightarrow \ln (y) = 2 x + 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2} \cdot (\ln y - 1)$
Umkehrfunktion: $f^{- 1} (x) = \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) - 1)$
Es ist hier eine verkettete Funktion vorgelegt. Die äußere Funktion ist die $e$ -Funktion und die innere Funktion ist $2 \cdot x + 1$ .
Man muss die Ableitungsregel für verkettete Funktionen anwenden können.
Differenzierbare Funktionen sind umkehrbar, wenn sie streng monoton sind
2
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Wir betrachten im Folgenden zwei verschiedene Funktionen
1. Gegeben ist die Funktion $g : x \mapsto (x^{2} - 9 x) \cdot \sqrt{2 - x}$ mit maximaler Definitionsmenge $D_{g}$ . Geben Sie $D_{g}$ und alle Nullstellen von $g$ an. (3P)
  
  Der Funktionsterm von $g$ ist ein Produkt aus zwei Faktoren.
  Der erste Faktor $x^{2} - 9 \cdot x = x \cdot (x - 9)$ ist für alle reellen Zahlen definiert.
  Der zweite Faktor $\sqrt{2 - x}$ ist für $2 - x \geq 0 ⟺$ $x \leq 2 ⟺ x \in] - \infty, 2]$ definiert.
  Also ist $D_{g} =] - \infty, 2]$
  Die möglichen Nullstellen liegen an den Nullstellen der Faktoren.
  Dabei muss man beachten, dass $x = 9$ nicht im Definitionsbereich liegt.
  Also: $g (x) = 0 ⟺ x = 0 \lor x = 2$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. Gegeben ist die in $ℝ$ definierte Funktion $h : x \mapsto \ln (\frac{1}{x^{2} + 1})$ . Begründen Sie, dass die Wertemenge von $h$ das Intervall $] - \infty; 0]$ ist. (3P)
  
  Die vorgelegte Funktion $h : x \mapsto \ln \frac{1}{x^{2} + 1}$ ist eine verkettete Funktion. Da die $\ln -$ Funktion nur für positive Argumente definiert ist, muss der Quotient $\frac{1}{x^{2} + 1} > 0$ sein. Dies ist gesichert, da Zähler und Nenner positiv sind.
  Mit der Logarithmenregel $\ln \frac{a}{b} = \ln a - \ln b$ ergibt sich:
  $h (x) = \ln 1 - \ln (x^{2} + 1) = - \ln (x^{2} + 1)$
  Der Argumentterm $x^{2} + 1$ hat als Wertebereich $W = [1, \infty [$ .
  Damit gilt: $h (1) = - \ln 1 = 0$ . Außerdem ist $\lim_{x \to \infty} \ln (x^{2} + 1) = \infty$
  Damit gilt für den Wertebereich der Funktion $h : W_{h} =] - \infty, 0]$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
3
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Betrachtet wird die in $ℝ$ definierte Funktion $f$ mit $f (x) = \frac{1}{\sqrt{x^{3}}}$ .
1. Zeigen Sie, dass die in $ℝ$ definierte Funktion $F$ mit $F (x) = - \frac{2}{\sqrt{x}}$ eine Stammfunktion von $f$ ist. (2P)
  
  $F$ ist Stammfunktion von $f$ , wenn gilt $F^{'} (x) = f (x)$ .
  Also: $F (x) = - \frac{2}{\sqrt{x}} = - 2 \cdot x^{- \frac{1}{2}} \Rightarrow F^{'} (x) = - 2 \cdot (- \frac{1}{2} \cdot x^{- \frac{3}{2}}) = \frac{1}{\sqrt{x^{3}}} = f (x)$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. Der Graph von $f$ schließt mit der x-Achse sowie den Geraden mit den Gleichungen $x = 1$ und $x = b$ mit $b > 1$ ein Flächenstück ein. Bestimmen Sie denjenigen Wert von $b$ , für den dieses Flächenstück den Inhalt 1 hat. (3P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung
  Die Fläche unter dem Graphen von $f$ in den Grenzen von $1$ bis $b > 0$ berechnet sich als
  $A = \int_{1}^{b} \frac{1}{\sqrt{x^{3}}} = - \frac{2}{\sqrt{b}} + 2$ .
  Man soll $b$ so bestimmen, dass $A = 1$ ist:
  $2 - \frac{2}{\sqrt{b}} = 1 \Leftrightarrow \frac{2}{\sqrt{b}} = 1 \Leftrightarrow b = 4$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
  MIt Hilfe der Stammfunktion aus a) wird das Integral ausgewertet und damit $b$ bestimmt.
4
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Gegeben sind die in $ℝ$ definierte Funktion $f$ mit $f (x) = \frac{1}{8} x^{3}$ sowie die Punkte $Q_{a} (a | f (a))$ für $a \in ℝ$ . Die Abbildung zeigt den Graphen von $f$ sowie die Punkte $P (0 | 2)$ und $Q_{2}$ .
1. Berechnen Sie für $a \neq 0$ die Steigung $m_{a}$ der Gerade durch die Punkte $P$ und $Q_{a}$ in Abhängigkeit von $a$ an. (2P)
  (zur Kontrolle: $m_{a} = \frac{a^{3} - 16}{8 a}$ )
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steigungsdreieck
  Man bestimmt die Steigung der Geraden durch die Punkte $P$ und $Q_{a}$ mit Hilfe des Steigungsdreiecks.
  $m_{a} = \frac{\frac{1}{8} a^{3} - 2}{a} = \frac{a^{3} - 16}{8 a}$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. Die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $Q_{a}$ wird mit $t_{a}$ bezeichnet. Bestimmen Sie rechnerisch denjenigen Wert von $a \in ℝ$ , für den $t_{a}$ durch $P$ verläuft. (3P)
  
  Man stellt zuerst die Tangentengleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $Q_{a}$ auf. Die Steigung $m_{t_{a}}$ berechnet sich als 1. Ableitung von $f$ an der Stelle $x = a$ .
  $f^{'} (x) = \frac{3}{8} x^{2} \Rightarrow f^{'} (a) = m_{t_{a}} = \frac{3}{8} a^{2}$
  Damit hat die gesuchte Tangente die Gleichung:
  $t_{a} : y = \frac{3}{8} \cdot a^{2} \cdot x + b$ , wobei $b,$ der y-Achsenabschnitt bedeutet.
  Da der Punkt $Q_{a}$ auf der Tangente liegen soll, muss gelten:
  $\begin{array}{l} \frac{1}{8} \cdot a^{3} = \frac{3}{8} a^{2} \cdot a + b \\ ⟺ - \frac{2}{8} a^{3} = b \\ ⟺ - \frac{1}{4} a^{3} = b \end{array}$
  Somit: $t_{a} : y = \frac{3}{8} a^{2} \cdot x - \frac{1}{4} a^{3}$
  Der Punkt $P (0 | 2)$ soll auf der Tangente $t_{a}$ liegen.
  Also $2 = - \frac{1}{4} a^{3} ⟺ a^{3} = - 8 ⟺ a = - 2$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?