Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

Der Funktionsterm von $gg$ ist ein Produkt aus zwei Faktoren.

Der erste Faktor $x^2-9\cdot x=x\cdot (x-9)x^2-9\backslash cdot\; x=x\backslash cdot(x-9)$ ist für alle reellen Zahlen definiert.

Der zweite Faktor $\sqrt{2-x}\backslash sqrt\{2-x\}$ ist für $2-x\ge 0⟺2-x\backslash geq\; 0\backslash iff$ $x\le 2⟺x\in ]-\mathrm{\infty },2]x\backslash leq\; 2\backslash iff\; x\backslash in]-\backslash infty,2]$ definiert.

Also ist $D_g=]-\mathrm{\infty },2]D\_g=]-\backslash infty,2]$

Die möglichen Nullstellen liegen an den Nullstellen der Faktoren.

Dabei muss man beachten, dass $x=9x=9$ nicht im Definitionsbereich liegt.

Also: $g(x)=0⟺x=0\vee x=2g(x)=0\backslash iff\; x=0\backslash lor\; x=2$.

Die vorgelegte Funktion $h:x\mapsto \ln \frac{1}{x^2+1}h:x\backslash mapsto\backslash ln\backslash frac\{1\}\{x^2+1\}$ ist eine verkettete Funktion. Da die $\ln -\backslash ln-$Funktion nur für positive Argumente definiert ist, muss der Quotient $\frac{1}{x^2+1}>0\backslash frac\{1\}\{x^2+1\}>0$ sein. Dies ist gesichert, da Zähler und Nenner positiv sind.

Mit der Logarithmenregel $\ln \frac{a}{b}=\ln a-\ln b\backslash ln\backslash frac\{a\}\{b\}=\backslash ln\; a-\backslash ln\; b$ ergibt sich:

$h(x)=\ln 1-\ln (x^2+1)=-\ln (x^2+1)h(x)=\backslash ln1-\backslash ln(x^2+1)=-\backslash ln(x^2+1)$

Der Argumentterm $x^2+1x^2+1$ hat als Wertebereich $W=[1,\mathrm{\infty }[W=[1,\backslash infty[$.

Damit gilt: $h(1)=-\ln 1=0h(1)=-\backslash ln1=0$. Außerdem ist ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\ln (x^2+1)=\mathrm{\infty }}\backslash displaystyle\backslash lim\_\{x\backslash to\backslash infty\}\; \backslash ln(x^2+1)=\backslash infty$

Damit gilt für den Wertebereich der Funktion $h:W_h=]-\mathrm{\infty },0]h:W\_h=]-\backslash infty,0]$.

$FF$ ist Stammfunktion von$ff$, wenn gilt $F^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=f\left(x\right)F\text{'}\backslash left(x\backslash right)=f\backslash left(x\backslash right)$.

Also: $F(x)=-{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{x}}}=-2\cdot x^{-\frac{1}{2}}\Rightarrow F^{\mathrm{\prime }}(x)=-2\cdot (-\frac{1}{2}\cdot x^{-\frac{3}{2}})=\frac{1}{\sqrt{x^3}}=f(x)F(x)=-\backslash dfrac\{2\}\{\backslash sqrt\{x\}\}=-2\backslash cdot\; x^\{-\backslash frac\{1\}\{2\}\}\backslash Rightarrow\; F\text{'}(x)=-2\backslash cdot(-\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; x^\{-\backslash frac\{3\}\{2\}\})=\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{x^3\}\}=f(x)$ .

Die Fläche unter dem Graphen von $ff$ in den Grenzen von $11$ bis $b>0b>0$ berechnet sich als

$A={\int }_1^b\frac{1}{\sqrt{x^3}}=-\frac{2}{\sqrt{b}}+2A=\backslash int^b\_1\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{x^3\}\}=-\backslash frac\{2\}\{\backslash sqrt\{b\}\}+2$.

Man soll $bb$ so bestimmen, dass $A=1A=1$ ist:

$2-\frac{2}{\sqrt{b}}=1\iff \frac{2}{\sqrt{b}}=1\iff b=42-\backslash frac\{2\}\{\backslash sqrt\{b\}\}=1\backslash Leftrightarrow\backslash frac\{2\}\{\backslash sqrt\{b\}\}=1\backslash Leftrightarrow\; b=4$.

Man bestimmt die Steigung der Geraden durch die Punkte $PP$ und $Q_{a}Q\_a$ mit Hilfe des Steigungsdreiecks.

$m_a=\frac{\frac{1}{8}{a}^3-2}{a}=\frac{a^3-16}{8a}m\_a=\backslash frac\{\backslash frac\{1\}\{8\}a^3-2\}\{a\}=\backslash frac\{a^3-16\}\{8a\}$

Man stellt zuerst die Tangentengleichung der Tangente an den Graphen von $ff$ im Punkt $Q_{a}Q\_a$ auf. Die Steigung $m_{t_a}m\_\{t\_a\}$ berechnet sich als 1. Ableitung von $ff$ an der Stelle $x=ax=a$.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{3}{8}{x}^2\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(a)=m_{t_a}=\frac{3}{8}{a}^{2}f\text{'}(x)=\backslash frac\{3\}\{8\}x^2\backslash Rightarrow\; f\text{'}(a)=m\_\{t\_a\}=\backslash frac\{3\}\{8\}a^2$

Damit hat die gesuchte Tangente die Gleichung:

$t_a:y=\frac{3}{8}\cdot a^2\cdot x+bt\_a:y=\backslash frac\{3\}\{8\}\backslash cdot\; a^2\backslash cdot\; x+b$, wobei $b,b,$ der y-Achsenabschnitt bedeutet.

Da der Punkt $Q_{a}Q\_a$ auf der Tangente liegen soll, muss gelten:

$\frac{1}{8}\cdot a^3=\frac{3}{8}{a}^2\cdot a+b⟺-\frac{2}{8}{a}^3=b⟺-\frac{1}{4}{a}^3=b\backslash frac\{1\}\{8\}\backslash cdot\; a^3=\backslash frac\{3\}\{8\}a^2\backslash cdot\; a+b\backslash \backslash \backslash iff-\backslash frac\{2\}\{8\}a^3=b\backslash \backslash \backslash iff\; -\backslash frac\{1\}\{4\}a^3=b$

Somit: $t_a:y=\frac{3}{8}{a}^2\cdot x-\frac{1}{4}{a}^{3}t\_a:y=\backslash frac\{3\}\{8\}a^2\backslash cdot\; x-\backslash frac\{1\}\{4\}a^3$

Der Punkt $P(0\mathrm{\mid }2)P(0|2)$ soll auf der Tangente $t_{a}t\_a$ liegen.

Also $2=-\frac{1}{4}{a}^3⟺a^3=-8⟺a=-22=-\backslash frac\{1\}\{4\}a^3\backslash iff\; a^3=-8\backslash iff\; a=-2$