Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

Der Funktionsterm von $g$ ist ein Produkt aus zwei Faktoren.

Der erste Faktor $x^2-9\cdot x=x\cdot(x-9)$ ist für alle reellen Zahlen definiert.

Der zweite Faktor $\sqrt{2-x}$ ist für $2-x\geq 0\iff$ $x\leq 2\iff x\in]-\infty,2]$ definiert.

Also ist $D_g=]-\infty,2]$

Die möglichen Nullstellen liegen an den Nullstellen der Faktoren.

Dabei muss man beachten, dass $x=9$ nicht im Definitionsbereich liegt.

Also: $g(x)=0\iff x=0\lor x=2$.

Die vorgelegte Funktion $h:x\mapsto\ln\frac{1}{x^2+1}$ ist eine verkettete Funktion. Da die $\ln-$Funktion nur für positive Argumente definiert ist, muss der Quotient $\frac{1}{x^2+1}>0$ sein. Dies ist gesichert, da Zähler und Nenner positiv sind.

Mit der Logarithmenregel $\ln\frac{a}{b}=\ln a-\ln b$ ergibt sich:

$h(x)=\ln1-\ln(x^2+1)=-\ln(x^2+1)$

Der Argumentterm $x^2+1$ hat als Wertebereich $W=[1,\infty[$.

Damit gilt: $h(1)=-\ln1=0$. Außerdem ist $\displaystyle\lim_{x\to\infty} \ln(x^2+1)=\infty$

Damit gilt für den Wertebereich der Funktion $h:W_h=]-\infty,0]$.

$F$ ist Stammfunktion von$f$, wenn gilt $F'\left(x\right)=f\left(x\right)$.

Also: $F(x)=-\dfrac{2}{\sqrt{x}}=-2\cdot x^{-\frac{1}{2}}\Rightarrow F'(x)=-2\cdot(-\frac{1}{2}\cdot x^{-\frac{3}{2}})=\frac{1}{\sqrt{x^3}}=f(x)$ .

Die Fläche unter dem Graphen von $f$ in den Grenzen von $1$ bis $b>0$ berechnet sich als

$A=\int^b_1\frac{1}{\sqrt{x^3}}=-\frac{2}{\sqrt{b}}+2$.

Man soll $b$ so bestimmen, dass $A=1$ ist:

$2-\frac{2}{\sqrt{b}}=1\Leftrightarrow\frac{2}{\sqrt{b}}=1\Leftrightarrow b=4$.

Man bestimmt die Steigung der Geraden durch die Punkte $P$ und $Q_a$ mit Hilfe des Steigungsdreiecks.

$m_a=\frac{\frac{1}{8}a^3-2}{a}=\frac{a^3-16}{8a}$

Man stellt zuerst die Tangentengleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $Q_a$ auf. Die Steigung $m_{t_a}$ berechnet sich als 1. Ableitung von $f$ an der Stelle $x=a$.

$f'(x)=\frac{3}{8}x^2\Rightarrow f'(a)=m_{t_a}=\frac{3}{8}a^2$

Damit hat die gesuchte Tangente die Gleichung:

$t_a:y=\frac{3}{8}\cdot a^2\cdot x+b$, wobei $b,$ der y-Achsenabschnitt bedeutet.

Da der Punkt $Q_a$ auf der Tangente liegen soll, muss gelten:

$\frac{1}{8}\cdot a^3=\frac{3}{8}a^2\cdot a+b\\\iff-\frac{2}{8}a^3=b\\\iff -\frac{1}{4}a^3=b$

Somit: $t_a:y=\frac{3}{8}a^2\cdot x-\frac{1}{4}a^3$

Der Punkt $P(0|2)$ soll auf der Tangente $t_a$ liegen.

Also $2=-\frac{1}{4}a^3\iff a^3=-8\iff a=-2$