Der Funktionsterm von $gg$ ist ein Produkt aus zwei Faktoren.

Der erste Faktor $x^2-9\cdot x=x\cdot (x-9)x^2-9\backslash cdot\; x=x\backslash cdot(x-9)$ ist für alle reellen Zahlen definiert.

Der zweite Faktor $\sqrt{2-x}\backslash sqrt\{2-x\}$ ist für $2-x\ge 0⟺2-x\backslash geq\; 0\backslash iff$ $x\le 2⟺x\in ]-\mathrm{\infty },2]x\backslash leq\; 2\backslash iff\; x\backslash in]-\backslash infty,2]$ definiert.

Also ist $D_g=]-\mathrm{\infty },2]D\_g=]-\backslash infty,2]$

Die möglichen Nullstellen liegen an den Nullstellen der Faktoren.

Dabei muss man beachten, dass $x=9x=9$ nicht im Definitionsbereich liegt.

Also: $g(x)=0⟺x=0\vee x=2g(x)=0\backslash iff\; x=0\backslash lor\; x=2$.

Die vorgelegte Funktion $h:x\mapsto \ln \frac{1}{x^2+1}h:x\backslash mapsto\backslash ln\backslash frac\{1\}\{x^2+1\}$ ist eine verkettete Funktion. Da die $\ln -\backslash ln-$Funktion nur für positive Argumente definiert ist, muss der Quotient $\frac{1}{x^2+1}>0\backslash frac\{1\}\{x^2+1\}>0$ sein. Dies ist gesichert, da Zähler und Nenner positiv sind.

Mit der Logarithmenregel $\ln \frac{a}{b}=\ln a-\ln b\backslash ln\backslash frac\{a\}\{b\}=\backslash ln\; a-\backslash ln\; b$ ergibt sich:

$h(x)=\ln 1-\ln (x^2+1)=-\ln (x^2+1)h(x)=\backslash ln1-\backslash ln(x^2+1)=-\backslash ln(x^2+1)$

Der Argumentterm $x^2+1x^2+1$ hat als Wertebereich $W=[1,\mathrm{\infty }[W=[1,\backslash infty[$.

Damit gilt: $h(1)=-\ln 1=0h(1)=-\backslash ln1=0$. Außerdem ist ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\ln (x^2+1)=\mathrm{\infty }}\backslash displaystyle\backslash lim\_\{x\backslash to\backslash infty\}\; \backslash ln(x^2+1)=\backslash infty$

Damit gilt für den Wertebereich der Funktion $h:W_h=]-\mathrm{\infty },0]h:W\_h=]-\backslash infty,0]$.