Der Funktionsterm von $g$ ist ein Produkt aus zwei Faktoren.

Der erste Faktor $x^2-9\cdot x=x\cdot(x-9)$ ist für alle reellen Zahlen definiert.

Der zweite Faktor $\sqrt{2-x}$ ist für $2-x\geq 0\iff$ $x\leq 2\iff x\in]-\infty,2]$ definiert.

Also ist $D_g=]-\infty,2]$

Die möglichen Nullstellen liegen an den Nullstellen der Faktoren.

Dabei muss man beachten, dass $x=9$ nicht im Definitionsbereich liegt.

Also: $g(x)=0\iff x=0\lor x=2$.

Die vorgelegte Funktion $h:x\mapsto\ln\frac{1}{x^2+1}$ ist eine verkettete Funktion. Da die $\ln-$Funktion nur für positive Argumente definiert ist, muss der Quotient $\frac{1}{x^2+1}>0$ sein. Dies ist gesichert, da Zähler und Nenner positiv sind.

Mit der Logarithmenregel $\ln\frac{a}{b}=\ln a-\ln b$ ergibt sich:

$h(x)=\ln1-\ln(x^2+1)=-\ln(x^2+1)$

Der Argumentterm $x^2+1$ hat als Wertebereich $W=[1,\infty[$.

Damit gilt: $h(1)=-\ln1=0$. Außerdem ist $\displaystyle\lim_{x\to\infty} \ln(x^2+1)=\infty$

Damit gilt für den Wertebereich der Funktion $h:W_h=]-\infty,0]$.