Die gegebene Funktion ist stetig und differenzierbar. Eine differenzierbare Funktion ist umkehrbar, wenn sie streng monoton ist.

$f(x)=e^{2x+1}\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)=2\cdot e^{2x+1}\mathrm{.}f(x)=e^\{2x+1\}\; \backslash Rightarrow\; f\text{'}(x)=2\backslash cdot\; e^\{2x+1\}.$

Da der Term der 1. Ableitung ein Produkt ist mit den positiven Faktoren $2>0\text{ und }{e}^{2x+1}>02>0\; \backslash text\{\backslash \; und\backslash \; \}\; e^\{2x+1\}>0$, ist $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0f\text{'}(x)>0$.

Also ist die gegebene Funktion streng monoton wachsend.

Bestimmung des Term der Umkehrfunktion:

$y=e^{2x+1}\iff \ln (y)=2x+1\iff x=\frac{1}{2}\cdot (\ln y-1)y=e^\{2x+1\}\backslash Leftrightarrow\; \backslash ln(y)=2x+1\; \backslash Leftrightarrow\; x=\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash cdot(\backslash ln\; y-1)$

Umkehrfunktion: $f^{-1}(x)=\frac{1}{2}\cdot (\ln (x)-1)f^\{-1\}(x)=\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; (\backslash ln(x)-1)$