Spiegelung einer Geraden an einer Ebene

1. Fall: Die Gerade ist (echt) parallel zur Ebene

Gegeben sind die zu der Ebene $E$ (echt) parallele Gerade $g:\vec{x}=\overrightarrow{OP}+r\cdot\vec{u}$ und die Ebene

$E:\;ax_1+bx_2+cx_3=d$. Die Gerade $g$ wird an der Ebene $E$ gespiegelt.

Vorgehensweise

Berechnung der gespiegelten Geraden g' mit einer Lotgeraden $l_{Lot}$

1. Erstelle eine Lotgerade $l_{Lot}$ mit dem Aufpunkt $P$ der Geraden $g$ und mit dem Normalenvektor $\vec n_E$ der Ebene $E$: $l_{Lot}:\vec x=\overrightarrow{OP}+s\cdot\vec{n}_E$

2. Schneide die Gerade $l_{Lot}$ mit der Ebene $E$. Du erhältst den Fußpunkt $F$.

3. Berechne den Vektor $\overrightarrow{PF}$

4. Zur Berechnung des Spiegelpunktes $P'$ setze $\overrightarrow{OP}$ und $\overrightarrow{PF}$ in die Vektorgleichung $\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PF}$ ein.

5. Der berechnete Punkt $P'$ ist der Aufpunkt der Spiegelgeraden $g'$. Die Spiegelgerade hat den Richtungsvektor $\vec u$ (parallele Gerade zu $g$) $\;\Rightarrow\;g': \vec x= \overrightarrow{OP'}+t\cdot \vec u$

Beispiel zu Fall 1

Gegeben sind die zu der Ebene E (echt) parallele Gerade $g: \vec x= \begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}$und die Ebene $E:\;2x_1-4x_2+x_3=29$. Die Gerade $g$ wird an der Ebene $E$ gespiegelt.

1. Erstelle die Gleichung einer Lotgeraden $l_{Lot}$ mit dem Aufpunkt $P$ der Geraden $g$ und mit dem Normalenvektor $\vec n_E$ der Ebene $E$: $l_{Lot}:\vec x=\overrightarrow{OP}+s\cdot\vec{n}_E=\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}2\\-4\\1\end{pmatrix}$

2. Schneide die Gerade $l_{Lot}$ mit der Ebene $E$.

$l_{Lot}\cap E$

Setze $s=1$ in die Lotgeradengleichung $l_{Lot}$ ein, um den Punkt $F$ zu berechnen.

$\vec x_F=\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}+1\cdot \begin{pmatrix}2\\-4\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\-5\\3\end{pmatrix}$$\;\Rightarrow\;F(3|-5|3)$

3. Berechne den Vektor $\overrightarrow{PF}$

$\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}3\\-5\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-4\\1\end{pmatrix}$

4. Setze $\overrightarrow{OP}$ und $\overrightarrow{PF}$ in die Vektorgleichung $\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PF}$ ein:

$\overrightarrow{OP'}=\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}+2\cdot \begin{pmatrix}2\\-4\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\-9\\4\end{pmatrix}$

5. Der berechnete Punkt $P'$ ist der Aufpunkt der Spiegelgeraden $g'$. Die Spiegelgerade hat den Richtungsvektor $\vec u$ (parallele Gerade zu $g$) $\;\Rightarrow\;g': \vec x= \overrightarrow{OP'}+t\cdot \vec u$

Antwort: Die gespiegelte Gerade hat die Gleichung $g': \vec x= \begin{pmatrix}5\\-9\\4\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}$

Anmerkung: Die obige Abbildung zeigt das Beispiel zu Fall 1.

2. Fall: Die Gerade schneidet die Ebene in einem Punkt $S$

Gegeben sind die Gerade $g:\vec{x}=\overrightarrow{OP}+r\cdot\vec{u}$, die Ebene $E:\;ax_1+bx_2+cx_3=d$ und der Schnittpunkt $S$ der Geraden mit der Ebene. Die Gerade $g$ wird an der Ebene $E$ gespiegelt.

Vorgehensweise

Berechnung der gespiegelten Geraden g' mit einer Lotgeraden $l_{Lot}$

1. Erstelle eine Lotgerade $l_{Lot}$ mit dem Aufpunkt $P$ der Geraden $g$ und mit dem Normalenvektor $\vec n_E$ der Ebene $E$: $l_{Lot}:\vec x=\overrightarrow{OP}+s\cdot\vec{n}_E$

2. Schneide die Gerade $l_{Lot}$ mit der Ebene $E$. Du erhältst den Fußpunkt $F$.

3. Berechne den Vektor $\overrightarrow{PF}$

4. Zur Berechnung des Spiegelpunktes $P'$ setze $\overrightarrow{OP}$ und $\overrightarrow{PF}$ in die Vektorgleichung $\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PF}$ ein.

5. Berechne den Vektor $\overrightarrow{SP'}$ : $\overrightarrow{SP'}=\overrightarrow{OP'}-\overrightarrow{OS}$

6. Die Gleichung der Spiegelgeraden lautet dann: $g': \vec x= \overrightarrow{OP'}+t\cdot \overrightarrow{SP'}$ oder

$g': \vec x= \overrightarrow{OS}+t\cdot \overrightarrow{SP'}$

Beispiel zu Fall 2

Gegeben sind die Gerade $g: \vec x= \begin{pmatrix}8\\9\\0\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$, die Ebene $E:\;2x_1+4x_2-x_3=10$ und der Schnittpunkt $S(-13|9|0)$ der Geraden mit der Ebene. Die Gerade $g$ wird an der Ebene $E$ gespiegelt.

1. Erstelle die Gleichung einer Lotgeraden $l_{Lot}$ mit dem Aufpunkt $P$ der Geraden $g$ und mit dem Normalenvektor $\vec n_E$ der Ebene $E$: $l_{Lot}: \vec x=\overrightarrow{OP}+s\cdot \vec n_E=\begin{pmatrix}8\\9\\0\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}2\\4\\-1\end{pmatrix}$

2. Schneide die Gerade $l_{Lot}$ mit der Ebene $E$.

$l_{Lot}\cap E$

Setze $s=-2$ in die Lotgeradengleichung $l_{Lot}$ ein, um den Punkt $F$ zu berechnen.

$\vec x_F=\begin{pmatrix}8\\9\\0\end{pmatrix}+(-2)\cdot \begin{pmatrix}2\\4\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8-4\\9-8\\0+2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\1\\2\end{pmatrix}$$\;\Rightarrow\;F(4|1|2)$

3. Berechne den Vektor $\overrightarrow{PF}$

$\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}4\\1\\2\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}8\\9\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\-8\\2\end{pmatrix}$

4. Setze $\overrightarrow{OP}$ und $\overrightarrow{PF}$ in die Vektorgleichung $\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PF}$ ein:

$\overrightarrow{OP'}=\begin{pmatrix}8\\9\\0\end{pmatrix}+2\cdot \begin{pmatrix}-4\\-8\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8-8\\9-16\\0+4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-7\\4\end{pmatrix}$

5. Berechne den Vektor $\overrightarrow{SP'}:$

$\overrightarrow{SP'}=\overrightarrow{OP'}-\overrightarrow{OS}=\begin{pmatrix}0\\-7\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-13\\9\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}13\\-16\\4\end{pmatrix}$

6. Die Gleichung der Spiegelgeraden lautet dann:

$g': \vec x= \overrightarrow{OP'}+t\cdot \overrightarrow{SP'}$ oder $g': \vec x= \overrightarrow{OS}+t\cdot \overrightarrow{SP'}$

Antwort: Die gespiegelte Gerade hat die Gleichung:

$g': \vec x=\begin{pmatrix}0\\-7\\4\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}13\\-16\\4\end{pmatrix}$ oder $g': \vec x=\begin{pmatrix}-13\\9\\0\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}13\\-16\\4\end{pmatrix}$

Anmerkung: Die obige Abbildung zeigt das Beispiel zu Fall 2.