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Spiegelung einer Geraden an einer Ebene

Der Artikel beschreibt die Spiegelung einer Geraden gg an einer Ebene EE.

Es werden zwei Fälle untersucht:

1. Fall: Die Gerade ist (echt) parallel zur Ebene.

2. Fall: Die Gerade schneidet die Ebene in einem Punkt SS.

1. Fall: Die Gerade ist (echt) parallel zur Ebene

Gegeben sind die zu der Ebene EE (echt) parallele Gerade g:x⃗=OP→+r⋅u⃗g:\vec{x}=\overrightarrow{OP}+r\cdot\vec{u} und die Ebene

E:  ax1+bx2+cx3=dE:\;ax_1+bx_2+cx_3=d. Die Gerade gg wird an der Ebene EE gespiegelt.

Vorgehensweise

Berechnung der gespiegelten Geraden g' mit einer Lotgeraden lLot l_{Lot}

Spiegelung Gerade (parallel) an Ebene

1. Erstelle eine Lotgerade lLot l_{Lot} mit dem Aufpunkt PP der Geraden gg und mit dem Normalenvektor n⃗E\vec n_E der Ebene EE: lLot:x⃗=OP→+s⋅n⃗El_{Lot}:\vec x=\overrightarrow{OP}+s\cdot\vec{n}_E

2. Schneide die Gerade lLotl_{Lot} mit der Ebene EE. Du erhältst den Fußpunkt FF.

3. Berechne den Vektor PF→\overrightarrow{PF}

4. Zur Berechnung des Spiegelpunktes P′P' setze OP→\overrightarrow{OP} und PF→\overrightarrow{PF} in die Vektorgleichung OP′→=OP→+2⋅PF→\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PF} ein.

5. Der berechnete Punkt P′P' ist der Aufpunkt der Spiegelgeraden g′g'. Die Spiegelgerade hat den Richtungsvektor u⃗ \vec u (parallele Gerade zu gg )   ⇒  g′:x⃗=OP′→+t⋅u⃗\;\Rightarrow\;g': \vec x= \overrightarrow{OP'}+t\cdot \vec u

Beispiel zu Fall 1

Gegeben sind die zu der Ebene E (echt) parallele Gerade g:x⃗=(1−12)+r⋅(210)g: \vec x= \begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}und die Ebene E:  2x1−4x2+x3=29E:\;2x_1-4x_2+x_3=29. Die Gerade gg wird an der Ebene EE gespiegelt.

1. Erstelle die Gleichung einer Lotgeraden lLot l_{Lot} mit dem Aufpunkt PP der Geraden gg und mit dem Normalenvektor n⃗E\vec n_E der Ebene EE: lLot:x⃗=OP→+s⋅n⃗E=(1−12)+s⋅(2−41)l_{Lot}:\vec x=\overrightarrow{OP}+s\cdot\vec{n}_E=\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}2\\-4\\1\end{pmatrix}

2. Schneide die Gerade lLotl_{Lot} mit der Ebene EE.

lLot∩El_{Lot}\cap E

2x1−4x2+x3\displaystyle 2x_1-4x_2+x_3==29\displaystyle 29
↓

Setze lLot=(1−12)+s⋅(2−41)l_{Lot}=\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}2\\-4\\1\end{pmatrix} in EE ein.

2⋅(1+2s)−4(−1−4s)+2+s\displaystyle 2\cdot(1+2s)-4(-1-4s)+2+s==29\displaystyle 29
↓

Löse die Klammern auf.

2+4s+4+16s+2+s\displaystyle 2+4s+4+16s+2+s==29\displaystyle 29
↓

Fasse zusammen.

8+21s\displaystyle 8+21s==29\displaystyle 29−8\displaystyle -8
21s\displaystyle 21s==21\displaystyle 21:21\displaystyle :21
s\displaystyle s==1\displaystyle 1

Setze s=1s=1 in die Lotgeradengleichung lLotl_{Lot} ein, um den Punkt FF zu berechnen.

x⃗F=(1−12)+1⋅(2−41)=(3−53)\vec x_F=\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}+1\cdot \begin{pmatrix}2\\-4\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\-5\\3\end{pmatrix}   ⇒  F(3∣−5∣3)\;\Rightarrow\;F(3|-5|3)

3. Berechne den Vektor PF→\overrightarrow{PF}

PF→=OF→−OP→=(3−53)−(1−12)=(2−41)\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}3\\-5\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-4\\1\end{pmatrix}

4. Setze OP→\overrightarrow{OP} und PF→\overrightarrow{PF} in die Vektorgleichung OP′→=OP→+2⋅PF→\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PF} ein:

OP′→=(1−12)+2⋅(2−41)=(5−94)\overrightarrow{OP'}=\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}+2\cdot \begin{pmatrix}2\\-4\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\-9\\4\end{pmatrix}

5. Der berechnete Punkt P′P' ist der Aufpunkt der Spiegelgeraden g′g'. Die Spiegelgerade hat den Richtungsvektor u⃗ \vec u (parallele Gerade zu gg )   ⇒  g′:x⃗=OP′→+t⋅u⃗\;\Rightarrow\;g': \vec x= \overrightarrow{OP'}+t\cdot \vec u

Antwort: Die gespiegelte Gerade hat die Gleichung g′:x⃗=(5−94)+t⋅(210)g': \vec x= \begin{pmatrix}5\\-9\\4\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}

Anmerkung: Die obige Abbildung zeigt das Beispiel zu Fall 1.

2. Fall: Die Gerade schneidet die Ebene in einem Punkt SS

Gegeben sind die Gerade g:x⃗=OP→+r⋅u⃗g:\vec{x}=\overrightarrow{OP}+r\cdot\vec{u}, die Ebene E:  ax1+bx2+cx3=dE:\;ax_1+bx_2+cx_3=d und der Schnittpunkt SS der Geraden mit der Ebene. Die Gerade gg wird an der Ebene EE gespiegelt.

Vorgehensweise

Berechnung der gespiegelten Geraden g' mit einer Lotgeraden lLot l_{Lot}

Gerade schneidet Ebene Spiegelgerade

1. Erstelle eine Lotgerade lLot l_{Lot} mit dem Aufpunkt PP der Geraden gg und mit dem Normalenvektor n⃗E\vec n_E der Ebene EE: lLot:x⃗=OP→+s⋅n⃗El_{Lot}:\vec x=\overrightarrow{OP}+s\cdot\vec{n}_E

2. Schneide die Gerade lLotl_{Lot} mit der Ebene EE. Du erhältst den Fußpunkt FF.

3. Berechne den Vektor PF→\overrightarrow{PF}

4. Zur Berechnung des Spiegelpunktes P′P' setze OP→\overrightarrow{OP} und PF→\overrightarrow{PF} in die Vektorgleichung OP′→=OP→+2⋅PF→\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PF} ein.

5. Berechne den Vektor SP′→\overrightarrow{SP'} : SP′→=OP′→−OS→\overrightarrow{SP'}=\overrightarrow{OP'}-\overrightarrow{OS}

6. Die Gleichung der Spiegelgeraden lautet dann: g′:x⃗=OP′→+t⋅SP′→g': \vec x= \overrightarrow{OP'}+t\cdot \overrightarrow{SP'} oder

g′:x⃗=OS→+t⋅SP′→g': \vec x= \overrightarrow{OS}+t\cdot \overrightarrow{SP'}

Beispiel zu Fall 2

Gegeben sind die Gerade g:x⃗=(890)+r⋅(100)g: \vec x= \begin{pmatrix}8\\9\\0\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}, die Ebene E:  2x1+4x2−x3=10E:\;2x_1+4x_2-x_3=10 und der Schnittpunkt S(−13∣9∣0)S(-13|9|0) der Geraden mit der Ebene. Die Gerade gg wird an der Ebene EE gespiegelt.

1. Erstelle die Gleichung einer Lotgeraden lLot l_{Lot} mit dem Aufpunkt PP der Geraden gg und mit dem Normalenvektor n⃗E\vec n_E der Ebene EE: lLot:x⃗=OP→+s⋅n⃗E=(890)+s⋅(24−1)l_{Lot}: \vec x=\overrightarrow{OP}+s\cdot \vec n_E=\begin{pmatrix}8\\9\\0\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}2\\4\\-1\end{pmatrix}

2. Schneide die Gerade lLotl_{Lot} mit der Ebene EE.

lLot∩El_{Lot}\cap E

2x1+4x2−x3\displaystyle 2x_1+4x_2-x_3==10\displaystyle 10
↓

Setze lLot:x⃗=(890)+s⋅(24−1)l_{Lot}:\vec x=\begin{pmatrix}8\\9\\0\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}2\\4\\-1\end{pmatrix}in EE ein.

2⋅(8+2s)+4⋅(9+4s)−(0−s)\displaystyle 2\cdot(8+2s)+4\cdot(9+4s)-(0-s)==10\displaystyle 10
↓

Löse die Klammern auf.

16+4s+36+16s+s\displaystyle 16+4s+36+16s+s==10\displaystyle 10
↓

Fasse zusammen.

52+21s\displaystyle 52+21s==10\displaystyle 10−52\displaystyle -52
21s\displaystyle 21s==−42\displaystyle -42:21\displaystyle :21
s\displaystyle s==−2\displaystyle -2

Setze s=−2s=-2 in die Lotgeradengleichung lLotl_{Lot} ein, um den Punkt FF zu berechnen.

x⃗F=(890)+(−2)⋅(24−1)=(8−49−80+2)=(412)\vec x_F=\begin{pmatrix}8\\9\\0\end{pmatrix}+(-2)\cdot \begin{pmatrix}2\\4\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8-4\\9-8\\0+2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\1\\2\end{pmatrix}   ⇒  F(4∣1∣2)\;\Rightarrow\;F(4|1|2)

3. Berechne den Vektor PF→\overrightarrow{PF}

PF→=OF→−OP→=(412)−(890)=(−4−82)\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}4\\1\\2\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}8\\9\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\-8\\2\end{pmatrix}

4. Setze OP→\overrightarrow{OP} und PF→\overrightarrow{PF} in die Vektorgleichung OP′→=OP→+2⋅PF→\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PF} ein:

OP′→=(890)+2⋅(−4−82)=(8−89−160+4)=(0−74)\overrightarrow{OP'}=\begin{pmatrix}8\\9\\0\end{pmatrix}+2\cdot \begin{pmatrix}-4\\-8\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8-8\\9-16\\0+4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-7\\4\end{pmatrix}

5. Berechne den Vektor SP′→:\overrightarrow{SP'}:

SP′→=OP′→−OS→=(0−74)−(−1390)=(13−164)\overrightarrow{SP'}=\overrightarrow{OP'}-\overrightarrow{OS}=\begin{pmatrix}0\\-7\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-13\\9\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}13\\-16\\4\end{pmatrix}

6. Die Gleichung der Spiegelgeraden lautet dann:

g′:x⃗=OP′→+t⋅SP′→g': \vec x= \overrightarrow{OP'}+t\cdot \overrightarrow{SP'} oder g′:x⃗=OS→+t⋅SP′→g': \vec x= \overrightarrow{OS}+t\cdot \overrightarrow{SP'}

Antwort: Die gespiegelte Gerade hat die Gleichung:

g′:x⃗=(0−74)+t⋅(13−164)g': \vec x=\begin{pmatrix}0\\-7\\4\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}13\\-16\\4\end{pmatrix} oder g′:x⃗=(−1390)+t⋅(13−164)g': \vec x=\begin{pmatrix}-13\\9\\0\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}13\\-16\\4\end{pmatrix}

Anmerkung: Die obige Abbildung zeigt das Beispiel zu Fall 2.


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