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Spiegelung einer Geraden an einer Ebene

Der Artikel beschreibt die Spiegelung einer Geraden g an einer Ebene E.

Es werden zwei FĂ€lle untersucht:

1. Fall: Die Gerade ist (echt) parallel zur Ebene.

2. Fall: Die Gerade schneidet die Ebene in einem Punkt S.

1. Fall: Die Gerade ist (echt) parallel zur Ebene

Gegeben sind die zu der Ebene E (echt) parallele Gerade g:x→=OP→+r⋅u→ und die Ebene

E:ax1+bx2+cx3=d. Die Gerade g wird an der Ebene E gespiegelt.

Vorgehensweise

Berechnung der gespiegelten Geraden g' mit einer Lotgeraden lLot

Spiegelung Gerade (parallel) an Ebene

1. Erstelle eine Lotgerade lLot mit dem Aufpunkt P der Geraden g und mit dem Normalenvektor n→E der Ebene E: lLot:x→=OP→+s⋅n→E

2. Schneide die Gerade lLot mit der Ebene E. Du erhĂ€ltst den Fußpunkt F.

3. Berechne den Vektor PF→

4. Zur Berechnung des Spiegelpunktes Pâ€Č setze OP→ und PF→ in die Vektorgleichung OPâ€Č→=OP→+2⋅PF→ ein.

5. Der berechnete Punkt Pâ€Č ist der Aufpunkt der Spiegelgeraden gâ€Č. Die Spiegelgerade hat den Richtungsvektor u→ (parallele Gerade zu g) ⇒gâ€Č:x→=OPâ€Č→+t⋅u→

Beispiel zu Fall 1

Gegeben sind die zu der Ebene E (echt) parallele Gerade g:x→=(1−12)+r⋅(210)und die Ebene E:2x1−4x2+x3=29. Die Gerade g wird an der Ebene E gespiegelt.

1. Erstelle die Gleichung einer Lotgeraden lLot mit dem Aufpunkt P der Geraden g und mit dem Normalenvektor n→E der Ebene E: lLot:x→=OP→+s⋅n→E=(1−12)+s⋅(2−41)

2. Schneide die Gerade lLot mit der Ebene E.

lLot∩E

2x1−4x2+x3=29
↓

Setze lLot=(1−12)+s⋅(2−41) in E ein.

2⋅(1+2s)−4(−1−4s)+2+s=29
↓

Löse die Klammern auf.

2+4s+4+16s+2+s=29
↓

Fasse zusammen.

8+21s=29−8
21s=21:21
s=1

Setze s=1 in die Lotgeradengleichung lLot ein, um den Punkt F zu berechnen.

x→F=(1−12)+1⋅(2−41)=(3−53)⇒F(3|−5|3)

3. Berechne den Vektor PF→

PF→=OF→−OP→=(3−53)−(1−12)=(2−41)

4. Setze OP→ und PF→ in die Vektorgleichung OPâ€Č→=OP→+2⋅PF→ ein:

OPâ€Č→=(1−12)+2⋅(2−41)=(5−94)

5. Der berechnete Punkt Pâ€Č ist der Aufpunkt der Spiegelgeraden gâ€Č. Die Spiegelgerade hat den Richtungsvektor u→ (parallele Gerade zu g) ⇒gâ€Č:x→=OPâ€Č→+t⋅u→

Antwort: Die gespiegelte Gerade hat die Gleichung gâ€Č:x→=(5−94)+t⋅(210)

Anmerkung: Die obige Abbildung zeigt das Beispiel zu Fall 1.

2. Fall: Die Gerade schneidet die Ebene in einem Punkt S

Gegeben sind die Gerade g:x→=OP→+r⋅u→, die Ebene E:ax1+bx2+cx3=d und der Schnittpunkt S der Geraden mit der Ebene. Die Gerade g wird an der Ebene E gespiegelt.

Vorgehensweise

Berechnung der gespiegelten Geraden g' mit einer Lotgeraden lLot

Gerade schneidet Ebene Spiegelgerade

1. Erstelle eine Lotgerade lLot mit dem Aufpunkt P der Geraden g und mit dem Normalenvektor n→E der Ebene E: lLot:x→=OP→+s⋅n→E

2. Schneide die Gerade lLot mit der Ebene E. Du erhĂ€ltst den Fußpunkt F.

3. Berechne den Vektor PF→

4. Zur Berechnung des Spiegelpunktes Pâ€Č setze OP→ und PF→ in die Vektorgleichung OPâ€Č→=OP→+2⋅PF→ ein.

5. Berechne den Vektor SPâ€Č→ : SPâ€Č→=OPâ€Č→−OS→

6. Die Gleichung der Spiegelgeraden lautet dann: gâ€Č:x→=OPâ€Č→+t⋅SPâ€Č→ oder

gâ€Č:x→=OS→+t⋅SPâ€Č→

Beispiel zu Fall 2

Gegeben sind die Gerade g:x→=(890)+r⋅(100), die Ebene E:2x1+4x2−x3=10 und der Schnittpunkt S(−13|9|0) der Geraden mit der Ebene. Die Gerade g wird an der Ebene E gespiegelt.

1. Erstelle die Gleichung einer Lotgeraden lLot mit dem Aufpunkt P der Geraden g und mit dem Normalenvektor n→E der Ebene E: lLot:x→=OP→+s⋅n→E=(890)+s⋅(24−1)

2. Schneide die Gerade lLot mit der Ebene E.

lLot∩E

2x1+4x2−x3=10
↓

Setze lLot:x→=(890)+s⋅(24−1)in E ein.

2⋅(8+2s)+4⋅(9+4s)−(0−s)=10
↓

Löse die Klammern auf.

16+4s+36+16s+s=10
↓

Fasse zusammen.

52+21s=10−52
21s=−42:21
s=−2

Setze s=−2 in die Lotgeradengleichung lLot ein, um den Punkt F zu berechnen.

x→F=(890)+(−2)⋅(24−1)=(8−49−80+2)=(412)⇒F(4|1|2)

3. Berechne den Vektor PF→

PF→=OF→−OP→=(412)−(890)=(−4−82)

4. Setze OP→ und PF→ in die Vektorgleichung OPâ€Č→=OP→+2⋅PF→ ein:

OPâ€Č→=(890)+2⋅(−4−82)=(8−89−160+4)=(0−74)

5. Berechne den Vektor SPâ€Č→:

SPâ€Č→=OPâ€Č→−OS→=(0−74)−(−1390)=(13−164)

6. Die Gleichung der Spiegelgeraden lautet dann:

gâ€Č:x→=OPâ€Č→+t⋅SPâ€Č→ oder gâ€Č:x→=OS→+t⋅SPâ€Č→

Antwort: Die gespiegelte Gerade hat die Gleichung:

gâ€Č:x→=(0−74)+t⋅(13−164) oder gâ€Č:x→=(−1390)+t⋅(13−164)

Anmerkung: Die obige Abbildung zeigt das Beispiel zu Fall 2.


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