Spiegelung einer Geraden an einer Ebene

Der Artikel beschreibt die Spiegelung einer Geraden $g$ an einer Ebene $E$ .

Es werden zwei Fälle untersucht:

1. Fall: Die Gerade ist (echt) parallel zur Ebene.

2. Fall: Die Gerade schneidet die Ebene in einem Punkt $S$ .

1. Fall: Die Gerade ist (echt) parallel zur Ebene

Gegeben sind die zu der Ebene $E$ (echt) parallele Gerade $g : \vec{x} = \vec{O P} + r \cdot \vec{u}$ und die Ebene

$E : a x_{1} + b x_{2} + c x_{3} = d$ . Die Gerade $g$ wird an der Ebene $E$ gespiegelt.

Vorgehensweise

Berechnung der gespiegelten Geraden g' mit einer Lotgeraden $l_{L o t}$

1. Erstelle eine Lotgerade $l_{L o t}$ mit dem Aufpunkt $P$ der Geraden $g$ und mit dem Normalenvektor ${\vec{n}}_{E}$ der Ebene $E$ : $l_{L o t} : \vec{x} = \vec{O P} + s \cdot {\vec{n}}_{E}$

2. Schneide die Gerade $l_{L o t}$ mit der Ebene $E$ . Du erhältst den Fußpunkt $F$ .

3. Berechne den Vektor $\vec{P F}$

4. Zur Berechnung des Spiegelpunktes $P^{'}$ setze $\vec{O P}$ und $\vec{P F}$ in die Vektorgleichung $\vec{O P^{'}} = \vec{O P} + 2 \cdot \vec{P F}$ ein.

5. Der berechnete Punkt $P^{'}$ ist der Aufpunkt der Spiegelgeraden $g^{'}$ . Die Spiegelgerade hat den Richtungsvektor $\vec{u}$ (parallele Gerade zu $g$ ) $\Rightarrow g^{'} : \vec{x} = \vec{O P^{'}} + t \cdot \vec{u}$

Beispiel zu Fall 1

Gegeben sind die zu der Ebene E (echt) parallele Gerade $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array})$ und die Ebene $E : 2 x_{1} - 4 x_{2} + x_{3} = 29$ . Die Gerade $g$ wird an der Ebene $E$ gespiegelt.

1. Erstelle die Gleichung einer Lotgeraden $l_{L o t}$ mit dem Aufpunkt $P$ der Geraden $g$ und mit dem Normalenvektor ${\vec{n}}_{E}$ der Ebene $E$ : $l_{L o t} : \vec{x} = \vec{O P} + s \cdot {\vec{n}}_{E} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \\ 1 \end{array})$

2. Schneide die Gerade $l_{L o t}$ mit der Ebene $E$ .

$l_{L o t} \cap E$

$2 x_{1} - 4 x_{2} + x_{3}$	$=$	$29$
	↓	Setze $l_{L o t} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \\ 1 \end{array})$ in $E$ ein.
$2 \cdot (1 + 2 s) - 4 (- 1 - 4 s) + 2 + s$	$=$	$29$
	↓	Löse die Klammern auf.
$2 + 4 s + 4 + 16 s + 2 + s$	$=$	$29$
	↓	Fasse zusammen.
$8 + 21 s$	$=$	$29$	$- 8$
$21 s$	$=$	$21$	$: 21$
$s$	$=$	$1$

Setze $s = 1$ in die Lotgeradengleichung $l_{L o t}$ ein, um den Punkt $F$ zu berechnen.

${\vec{x}}_{F} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 2 \end{array}) + 1 \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ - 5 \\ 3 \end{array})$ $\Rightarrow F (3 | - 5 | 3)$

3. Berechne den Vektor $\vec{P F}$

$\vec{P F} = \vec{O F} - \vec{O P} = (\begin{array}{c} 3 \\ - 5 \\ 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \\ 1 \end{array})$

4. Setze $\vec{O P}$ und $\vec{P F}$ in die Vektorgleichung $\vec{O P^{'}} = \vec{O P} + 2 \cdot \vec{P F}$ ein:

$\vec{O P^{'}} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 2 \end{array}) + 2 \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 5 \\ - 9 \\ 4 \end{array})$

Antwort: Die gespiegelte Gerade hat die Gleichung $g^{'} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 5 \\ - 9 \\ 4 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array})$

Anmerkung: Die obige Abbildung zeigt das Beispiel zu Fall 1.

2. Fall: Die Gerade schneidet die Ebene in einem Punkt $S$

Gegeben sind die Gerade $g : \vec{x} = \vec{O P} + r \cdot \vec{u}$ , die Ebene $E : a x_{1} + b x_{2} + c x_{3} = d$ und der Schnittpunkt $S$ der Geraden mit der Ebene. Die Gerade $g$ wird an der Ebene $E$ gespiegelt.

Vorgehensweise

Berechnung der gespiegelten Geraden g' mit einer Lotgeraden $l_{L o t}$

1. Erstelle eine Lotgerade $l_{L o t}$ mit dem Aufpunkt $P$ der Geraden $g$ und mit dem Normalenvektor ${\vec{n}}_{E}$ der Ebene $E$ : $l_{L o t} : \vec{x} = \vec{O P} + s \cdot {\vec{n}}_{E}$

2. Schneide die Gerade $l_{L o t}$ mit der Ebene $E$ . Du erhältst den Fußpunkt $F$ .

3. Berechne den Vektor $\vec{P F}$

4. Zur Berechnung des Spiegelpunktes $P^{'}$ setze $\vec{O P}$ und $\vec{P F}$ in die Vektorgleichung $\vec{O P^{'}} = \vec{O P} + 2 \cdot \vec{P F}$ ein.

5. Berechne den Vektor $\vec{S P^{'}}$ : $\vec{S P^{'}} = \vec{O P^{'}} - \vec{O S}$

6. Die Gleichung der Spiegelgeraden lautet dann: $g^{'} : \vec{x} = \vec{O P^{'}} + t \cdot \vec{S P^{'}}$ oder

$g^{'} : \vec{x} = \vec{O S} + t \cdot \vec{S P^{'}}$

Beispiel zu Fall 2

Gegeben sind die Gerade $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 8 \\ 9 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array})$ , die Ebene $E : 2 x_{1} + 4 x_{2} - x_{3} = 10$ und der Schnittpunkt $S (- 13 | 9 | 0)$ der Geraden mit der Ebene. Die Gerade $g$ wird an der Ebene $E$ gespiegelt.

1. Erstelle die Gleichung einer Lotgeraden $l_{L o t}$ mit dem Aufpunkt $P$ der Geraden $g$ und mit dem Normalenvektor ${\vec{n}}_{E}$ der Ebene $E$ : $l_{L o t} : \vec{x} = \vec{O P} + s \cdot {\vec{n}}_{E} = (\begin{array}{c} 8 \\ 9 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ - 1 \end{array})$

2. Schneide die Gerade $l_{L o t}$ mit der Ebene $E$ .

$l_{L o t} \cap E$

$2 x_{1} + 4 x_{2} - x_{3}$	$=$	$10$
	↓	Setze $l_{L o t} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 8 \\ 9 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ - 1 \end{array})$ in $E$ ein.
$2 \cdot (8 + 2 s) + 4 \cdot (9 + 4 s) - (0 - s)$	$=$	$10$
	↓	Löse die Klammern auf.
$16 + 4 s + 36 + 16 s + s$	$=$	$10$
	↓	Fasse zusammen.
$52 + 21 s$	$=$	$10$	$- 52$
$21 s$	$=$	$- 42$	$: 21$
$s$	$=$	$- 2$

Setze $s = - 2$ in die Lotgeradengleichung $l_{L o t}$ ein, um den Punkt $F$ zu berechnen.

${\vec{x}}_{F} = (\begin{array}{c} 8 \\ 9 \\ 0 \end{array}) + (- 2) \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 8 - 4 \\ 9 - 8 \\ 0 + 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 \\ 1 \\ 2 \end{array})$ $\Rightarrow F (4 | 1 | 2)$

3. Berechne den Vektor $\vec{P F}$

$\vec{P F} = \vec{O F} - \vec{O P} = (\begin{array}{c} 4 \\ 1 \\ 2 \end{array}) - (\begin{array}{c} 8 \\ 9 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 4 \\ - 8 \\ 2 \end{array})$

4. Setze $\vec{O P}$ und $\vec{P F}$ in die Vektorgleichung $\vec{O P^{'}} = \vec{O P} + 2 \cdot \vec{P F}$ ein:

$\vec{O P^{'}} = (\begin{array}{c} 8 \\ 9 \\ 0 \end{array}) + 2 \cdot (\begin{array}{c} - 4 \\ - 8 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 8 - 8 \\ 9 - 16 \\ 0 + 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ - 7 \\ 4 \end{array})$

5. Berechne den Vektor $\vec{S P^{'}} :$

$\vec{S P^{'}} = \vec{O P^{'}} - \vec{O S} = (\begin{array}{c} 0 \\ - 7 \\ 4 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 13 \\ 9 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 13 \\ - 16 \\ 4 \end{array})$

6. Die Gleichung der Spiegelgeraden lautet dann:

$g^{'} : \vec{x} = \vec{O P^{'}} + t \cdot \vec{S P^{'}}$ oder $g^{'} : \vec{x} = \vec{O S} + t \cdot \vec{S P^{'}}$

Antwort: Die gespiegelte Gerade hat die Gleichung:

$g^{'} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ - 7 \\ 4 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 13 \\ - 16 \\ 4 \end{array})$ oder $g^{'} : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 13 \\ 9 \\ 0 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 13 \\ - 16 \\ 4 \end{array})$

Anmerkung: Die obige Abbildung zeigt das Beispiel zu Fall 2.

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Spiegelung einer Geraden an einer Ebene

1. Fall: Die Gerade ist (echt) parallel zur Ebene

Vorgehensweise

Berechnung der gespiegelten Geraden g' mit einer Lotgeraden lLot

Beispiel zu Fall 1

2. Fall: Die Gerade schneidet die Ebene in einem Punkt S

Vorgehensweise

Berechnung der gespiegelten Geraden g' mit einer Lotgeraden lLot

Beispiel zu Fall 2

Berechnung der gespiegelten Geraden g' mit einer Lotgeraden $l_{L o t}$

2. Fall: Die Gerade schneidet die Ebene in einem Punkt $S$

Berechnung der gespiegelten Geraden g' mit einer Lotgeraden $l_{L o t}$