$\dfrac{4}{x}+\dfrac{1}{3+x}=\dfrac{7}{x-2}$

Definitionsmenge bestimmen.

Im Nenner eines Bruches darf nicht Null stehen. Alle Zahlen, für die sich beim Einsetzen in die Gleichung im Nenner Null ergibt, dürfen nicht in der Definitionsmenge enthalten sein.

Setze jeden der Nenner gleich Null.

$x=0\\x+3=0\qquad\Rightarrow\qquad x=-3\\x-2=0\qquad\Rightarrow\qquad x=\ \ \ 2$

Der Nenner wir Null bei:$\\x=0;\quad x=-3;\quad x=2\qquad\Rightarrow\qquad$$D=\mathbb R\setminus \left\{-3; 0; 2\right\}$

Lösen der Bruchgleichung:

Bestimme den Hauptnenner, der HN ist: $\ x\cdot(x+3)\cdot(x-2)$

Multipliziere die Bruchgleichung mit dem HN:

$\dfrac{4\cdot [\cancel{x\ }\cdot(3+x)\cdot(x-2)]}{\cancel{x\ }}+\dfrac{1\cdot [x\cdot(\cancel{3+x})\cdot(x-2)]}{\cancel{3+x}}=\dfrac{7\cdot [x\cdot(3+x)\cdot(\cancel{x-2})]}{\cancel{x-2}}$

$4\cdot(x^2+x-6)+x^2-2x=7\cdot(x^2+3x)\\4x^2+4x-24+x^2-2x=7x^2+21x$

$5x^2-7x^2+2x-21x-24=0\\-2x^2-19x-24=0\ |:-1\\2x^2+19x+24=0\qquad$löse die quadratische Gleichung z.B mit der Mitternachtsformel

$x_{1/2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\qquad\Rightarrow\qquad x_{1/2}=\dfrac{-19\pm\sqrt{361-192}}{4}$

$x_{1/2}=\dfrac{-19\pm13}{4}\qquad\Rightarrow\qquad x_1=\dfrac{-19-13}{4}\qquad \text{und}\qquad x_2=\dfrac{-19+13}{4}$

$x_1=-8\\x_2=-1{,}5$

Die Lösungsmenge:$\ \ \mathbb{L}=\left\{-8;-1{,}5\right\}$