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Aufgabengruppe I

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Die Aufgabenstellung findest du hier  zum Ausdrucken als PDF. 

(Kleine Änderungen der Formulierung aufgrund der Umwandlung in ein digitales Medium sind kursiv geschrieben.)

  1. 1

    Normalparabel

    1. Formen Sie die Funktionsgleichung der Normalparabel p1:y=x2+2x3p_1 :y=x^2+2x-3 in die Scheitelpunktform um und geben Sie den Scheitelpunkt S1S_1 an.

    2. Überprüfen Sie durch Rechnung, ob die Punkte A(23)A ( - 2 | - 3) und B(25)B (2 | 5) auf der Normalparabel p1p_1 liegen.

    3. Die Normalparabel p1p_1 schneidet die x-Achse in den Punkten PP und Q Q. Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten dieser beiden Punkte und geben Sie PP und QQ an.

    4. Die nach unten geöffnete Normalparabel p2p_2 verläuft durch die Punkte C(16)C(1|-6) und D(41)D ( - 4 | - 1). Bestimmen Sie rechnerisch die Funktionsgleichung von p2p_2 in der Normalform.

    5. Die nachfolgende Abbildung zeigt den Graphen einer Normalparabel p3p_3. Ermitteln Sie rechnerisch die Funktionsgleichung von p3p_3 in der Normalform.

      Normalparabel
    6. Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte TT und U U der Normalparabel

      p4p_4: y=x22x+1y=x^2-2x+1 mit der Geraden g:g: y=2x2y=2x-2 und geben Sie TT und UU an.

    7. Zeichnen Sie die Graphen der Normalparabeln p1p_1 und p2p_2 in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit 1 cm.

  2. 2

    In einer bayerischen Stadt waren am 01.01.2010 insgesamt 67279 Menschen gemeldet.

    1. Neun Jahre später waren es bereits 81240 Menschen. Berechnen Sie für diesen Zeitraum das durchschnittliche jährliche Bevölkerungswachstum in Prozent.

    2. Die Anzahl der unter 6-jährigen Kinder ging im Zeitraum von zwei Jahren um jährlich 1,3 % auf 3245 Personen zurück. Berechnen Sie die Anzahl der Personen dieser Altersgruppe zu Beginn dieser beiden Jahre.

      Kinder
    3. Berechnen Sie, nach wie vielen Jahren sich die Zahl der Bewohner dieser Stadt verdoppeln würde, wenn man von einem durchschnittlichen jährlichen Zuwachs von 3,75% ausgeht. Runden Sie das Ergebnis auf volle Jahre.

      Jahre
  3. 3

    In der folgenden Skizze gilt: AB=46cm\overline{AB}=46cm; α=28°α=28° ; β=140°β=140°. Berechnen Sie die Länge der Strecke [AC][AC] in cm.

    Dreieck
  4. 4

    Vereinfachen Sie den untenstehenden Term soweit wie möglich.

    Es gilt: x,y,z0x,y,z\neq0

    2x36y410z6x22y8z23y210x34z4\dfrac{2\cdot x^3\cdot 6\cdot y^{-4}\cdot 10\cdot z^{-6}\cdot x^{-2}\cdot2\cdot y^{8}\cdot z^2}{3\cdot y^2\cdot 10\cdot x^{-3}\cdot 4\cdot z^{-4}}

  5. 5

    Lösen Sie folgende Aufgaben.

    1. Bestimmen Sie rechnerisch die Funktionsgleichung der Geraden g1g_1, die durch die Punkte A(41)A ( 4 | - 1) und B (61)( 6 | 1) verläuft.

    2. Die Gerade g2g_2 verläuft durch den Punkt C(24)C (2 | 4) und steht senkrecht auf der Geraden g3g_3: yx=1\dfrac{y}{x}=1. Ermitteln Sie rechnerisch die Funktionsgleichung der Geraden g2g_2.

    3. Zeichnen Sie die Geraden g1g_1 und g2g_2 in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit 1 cm.

    4. Geben Sie eine mögliche Funktionsgleichung einer Geraden g4g_4 an, die parallel zur

      x-Achse verläuft.

    5. Der Punkt D(33)D( -3|3) liegt auf der Geraden g5g_5: y=m5x9y=m_5x-9. Bestimmen Sie die Steigung m5m_5 rechnerisch.


    6. Die Geraden g6g_6: y=2x7y=2x-7 und g7g_7: y=12x+3y=-\dfrac{1}{2}x+3 schneiden sich im Punkt S.S. Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten des Schnittpunkts SS und geben Sie SS an.

    7. Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts NN der Geraden g7g_7 mit der

      x-Achse und geben Sie NN an.

  6. 6

    Lösen Sie die folgende Gleichung rechnerisch. Geben Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge an.

    4x+13+x=7x2\dfrac{4}{x}+\dfrac{1}{3+x}=\dfrac{7}{x-2}

  7. 7

    Für die Herstellung eines goldenen, halbkugelförmigen Schmuckanhängers mit einem Durchmesser von 11 mm verwendet ein Goldschmied das Gold von acht kleineren Kugeln mit einem Durchmesser von jeweils 4,5 mm. Anschließend stellt er aus dem überschüssigen Material eine Goldkugel für ein weiteres Schmuckstück her. Berechnen Sie den Radius dieser neuen Goldkugel.

  8. 8

    Es gilt: g1g2g3g_1||g_2||g_3

    Parallelen

    Durch korrektes Ersetzen der Platzhalter \square sollen richtige Anwendungen der Strahlensätze entstehen. Schreiben Sie die richtigen Gleichungen vollständig auf Ihr Lösungsblatt.

    (1) i+ek=e\frac{i+e}{k}=\frac{e}{\square}

    (2) e=c\dfrac{\square}{e}=\dfrac{c}{\square}

    (3) ak=c\dfrac{a}{k}=\dfrac{c}{\square}

  9. 9

    Folgende Aufgaben sind Anwendungen von binomischen Formeln. Ersetzen Sie die Platzhalter \square jeweils durch den entsprechenden Term und schreiben Sie die mathematisch richtige Gleichung auf Ihr Lösungsblatt.

    (1) (2a+)(2a)=64b2(\sqrt{2}a+\square)\cdot(\sqrt{2}a-\square)=\square-64b^2

    (2) 116a2b4ab2+4a2=(2a)2\dfrac{1}{16}a^2b^4-\boxed{ab^2}+\boxed{4a^2}=(\square-2a)^2

  10. 10

    In einem Behälter befinden sich sechs Kugeln, von denen eine Kugel schwarz, drei grün und zwei rot sind. Zwei Mal nacheinander wird eine Kugel zufällig gezogen und nicht zurückgelegt.

    1. Zeichnen Sie ein Baumdiagramm mit den möglichen Ergebnissen und beschriften Sie die Äste mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten.

    2. Die zweite gezogene Kugel soll schwarz sein. Bestimmen Sie für dieses Ereignis die Wahrscheinlichkeit in Prozent.

    3. Die höchstmögliche Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Farbkombination, ohne Beachtung der Reihenfolge, beträgt beim im Vortext beschriebenen Zufallsexperiment 40 Prozent. Geben Sie an, für welche Farbkombination dies zutrifft, und begründen Sie Ihre Entscheidung mit Hilfe einer Rechnung.

  11. 11

    Es gilt: g1g2g3g_1||g_2||g_3

    Bild

    Durch korrektes Ersetzen der Platzhalter \square sollen richtige Anwendungen der Strahlensätze entstehen. Schreiben Sie die richtigen Gleichungen vollständig auf Ihr Lösungsblatt.

    1. i+ek=e\frac{i+e}{k}=\frac{e}{\square}

    2. e=c\dfrac{\square}{e}=\dfrac{c}{\square}

    3. ak=c\dfrac{a}{k}=\dfrac{c}{\square}

  12. 12

    Folgende Aufgaben sind Anwendungen von binomischen Formeln. Ersetzen Sie die Platzhalter \square jeweils durch den entsprechenden Term und schreiben Sie die mathematisch richtige Gleichung auf Ihr Lösungsblatt.

    1. (2a+)(2a)=64b2(\sqrt{2}a+\square)\cdot(\sqrt{2}a-\square)=\square-64b^2

    2. 116a2b4ab2+4a2=(2a)2\dfrac{1}{16}a^2b^4-\boxed{ab^2}+\boxed{4a^2}=(\square-2a)^2


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