Aufgabengruppe I

Umformen der allgemeinen Form in die Scheitelform:

Jetzt kannst Du den Scheitelpunk ablesen:$\quad \mathrm S\left(-1\left|-4\right.\right)$

$f(x)\ =\ x^2+2x-3$

setze die die x-Werte der Punkte $A$ und $B$ in den Funktionsterm ein und vergleiche den jeweiligen Funktionswert.

$f(-2)\ =\ (-2)^2+2\cdot(-2)-3\ =\ 4-4-3\ =\ -3$

$f(-2)\ =\ -3\quad\Rightarrow\quad$der Punkt $A$ liegt auf der Parabel $p_1$

$f(2)\ =\ (2)^2+2\cdot(2)-3\ =\ 4+4-3\ =\ 5$

$f(2)\ =\ 5\quad\Rightarrow\quad$der Punkt $B$ liegt auf der Parabel $p_1$

Um die Schnittpunkte der Parabel mit der $x$-Achse zu bestimmen, setze die Funktionsgleichung gleich $0$ und berechne $x$ z.B. mit der Mitternachtsformel

$x_{1{,}2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x^2+2x-3\ =\ 0$

$x_{1{,}2}=\dfrac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot1\cdot(-3)}}{2}$

$x_{1{,}2}=\dfrac{-2\pm\sqrt{4+12}}{2}\quad\Rightarrow\quad x_{\tiny 1}\ =\ 1\qquad \Rightarrow\quad Q(1|0)$

$\hspace{44mm}x_{\tiny2}\ =\ -3\quad\Rightarrow\quad P(-3|0)$

Die allgemeine Form oder auch Hauptform einer quadratischen Funktion lautet:

$f\left(x\right)=ax^2+bx+c$

Da es sich um eine nach unten geöffnete Normalparabel handelt ist der Vorfaktor $a=(-1)$

Setze die gegebenen Punktepaare in die Funktionsgleichung ein.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llrcl}\text{Aus }C(1|-6): &I &-6 &= &-1\cdot (1)^2+b\cdot (1)+c\\\text{Aus }D(-4|-1): &II &-1 &= &-1\cdot (-4)^2+b\cdot(-4)+c\end{array}$

Berechnung der Parameter mit dem Gleichsetzungsverfahren;

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llrcl} &I &-6 &= &-1+b+c\end{array}\ \ \ \ \ \quad\Rightarrow\quad c=-b-5$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llrcl} &II &-1 &= &-16-4b+c\end{array}\quad\Rightarrow\quad c=4b+15$

Setze $I\ =\ II$

Setze $-4$ in $I\$oder $II$ein und berechne $c$

$c\ =\ 4-5\ =\ -1$

$c\ =\ -1\$ jetzt kannst Du die Funktionsgleichung aufstellen

$p_{\tiny2}:y\ =-x^2-4x-1$

Aus der Abbildung kannst Du den Scheitel der Parabel $p_{\tiny 3}\$ablesen:$\ S_{\tiny 3}(-2|6)\$

stelle die Scheitelform der Parabel $\ p_{\tiny 3}\$auf, die Scheitelform lautet:

$\ f\left(x\right)=a(x-d)^2+e$

Setze die entsprechenden Werte des Scheitels$\ S_{\tiny 3}$ ein.

$p_{\tiny 3}:y\ =\ -(x+2)^2+6$

die Normalform ist dann:

$p_{\tiny 3}:y\ =\ -x^2-4x+2$

Löse jetzt die Quadratische Gleichung z.B. mit der Mitternachtsformel

$x_{1{,}2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\qquad\Rightarrow\ x_{1{,}2}=\dfrac{-(-4)\pm\sqrt{4^2-4\cdot1\cdot3}}{2\cdot1}$

$\hspace{4.8cm}x_{1{,}2}=\dfrac{4\pm\sqrt{4}}{2\cdot1}$

$\hspace{4.8cm}x_{1{,}2}=\dfrac{4\pm{2}}{2\cdot1}\ =\ 2\pm1$

$x_1\ =\ 1$

$x_2\ =\ 3$

Setze $x_1$ und$\ x_2$ in z.B. $\ g: y\ =\ 2x-2$ ein und bestimme $y_1$ und$\ y_2$

Du kannst $x_1\$und$\ x_2\$auch in $p_4:y=x^2-2x+1$ einsetzen.

$y_1\ =\ 1\cdot2-2\ =\ 0\qquad\Rightarrow\ T(1|0)$

$y_2\ =\ 3\cdot2-2\ =\ 4\qquad\Rightarrow\ U(3|4)$

Bekannt sind folgende Grössen:

Bevölkerungsstand im Jahr 2010: $67279$ Einwohner.

Bevölkerungsstand im Jahr 2019: $81240$ Einwohner.

Berechne das durchschnittliche jährliche Bevölkerungswachstum in Prozent.

$81 240\ =\ 67 279\ \cdot\ q^9\ \Rightarrow\ q\ =\ \sqrt[\scriptsize{9}]{\dfrac{81240}{67279}}\ \Rightarrow\ q\ \approx\ 1{,}021\ \Rightarrow\ p\ =\ 2{,}1\%$

Das durchschnittliche jährliche Bevölkerungswachstum beträgt $2{,}1\%$.

Die Formel für den exponentiellen Zerfall lautet:

$\hspace{4cm}N\left(t\right)=N_0\cdot(1-p)^t$

$N_t\ =\ 3245\qquad p\ =\ 1{,}3\%\qquad t\ =\ 2\ \text{Jahre}\qquad$ setze die Werte in die Formel ein.

$\hspace{4cm}3245=N_0\cdot(1-0{,}013)^2$

$\hspace{4cm}3245=N_0\cdot0{,}987^2$

$\hspace{4cm}N_0={3245}:{0{,}987^2}$

$\hspace{4cm}N_0=3331{,}044$

Vor $2$ Jahren waren es $3331$ Kinder.

Die Formel fur das exponentielle Wachstum lautet:

$\hspace{4.5cm}N\left(t\right)=N_0\cdot(1+p)^t$

$N_t\ =\ 2\cdot67279\qquad p\ =\ 3{,}75\%\qquad N_0\ =\ 67279\qquad$setzte die Werte in die Formel ein.

$\hspace{4.5cm}2\cdot67279=67279\cdot(1+0{,}0375)^t$

$\hspace{4.5cm}2=(1{,}0375)^t$

Berechne $\text{t}$ mit Hilfe des Logarithmus.

$\hspace{4.5cm}\log_{1{,}0375}(2)\ =\ t$

$\hspace{4.5cm}t\ =\ \dfrac{lg2}{lg1{,}0375}\ \Rightarrow\ t\ =\ \dfrac{0{,}301}{0{,}016}\ \Rightarrow\ t\ =\ 18{,}8$

Die Bevölkerungszahl würde sich nach ungefähr 19 Jahren verdoppelt haben.

Die allgemeine Geradengleichung lautet:$\quad y=\textcolor{ff6600}{m}\cdot x+\textcolor{009999}{t}$

Setze $A$ und $B$ in die Geradengleichung ein.

$(A): 4m\ +\ t\ =\ -1$

$(B): 6m\ +\ t\ =\ \ \ \ 1\quad\Rightarrow\quad\ t\ =\ 1-6m\$ eingesetzt in $A$

Setze $m$ in$(B)$ ein und berechne $t$.

$t\ =\ 1-6\cdot1\quad\Rightarrow\quad t\ =\ -5$

Die Funktionsgleichung der Geraden $g_1\$ lautet:

$g_{1}:\ y\ =\ x-5$

$g_{3}:\dfrac{x}{y}\ =\ 1\quad\Rightarrow\quad g_{3}:y\ =\ x\hspace{9.1mm}\Rightarrow\hspace{9.1mm} m_{3}\ =\ 1$

da die Gerade $g_{2}\$senkrecht auf der Geraden$\ g_{3}\$steht, gilt: $\\m_{2}\cdot\ m_{3}\ =-1\quad\Rightarrow\quad\ m_{2}\ =\ m_{3}\cdot-1\quad\Rightarrow\quad m_{2}\ =\ -1$

Die allgemeine Form der Geradengleichung lautet:

$\hspace{51mm}y\ =\ mx\ +\ t$

Setze $\ m_{2}\$und die Koordinaten des Punktes $C$ in die Gleichung ein.

$\ 4\ =\ (-1)\cdot 2\ +\ t_2\quad\Rightarrow\quad t_2\ =\ 6$

Die Funktionsgleichung der Geraden $g_{2}\$lautet:

$\ g_{2}:y\ =\ -x\ +\ 6$

Die Skizze ist nicht massgetreu.

Mögliche Funktionsgleichung von $g_4$:

z. B. $\ g_4:y\ =\ 3$

Hinweis: $\ g4:$ $y\ =\ t\$ mit $\ t\in \mathbb{R}$

Die Steigung $m_5\$bestimmen:

Setze die Koordinaten des Punktes $D$ in die Gerade$\ g_5:y=m_5-9\$ein.

$\ 3=m_5\cdot(-3)-9\quad\Rightarrow\quad3=-3m_5-9\quad\Rightarrow\quad3m_5=-12$

$m_5=\dfrac{-12}{3}\quad\Rightarrow\quad m_5=-4$

Berechnung des Schnittpunktes $S$.

Setze$\ g_6=g_7$

Setze $x=4\$in $g_6\$oder$\ g_7\$ein und berechne $y.$

x eingesetzt in $g_6\$ergibt:

$\ 2\cdot4-7=y\quad\Rightarrow\quad y=1$

Die Koordinaten des Schnittpunktes sind dann:

$S(4|1)$

Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts $N$ der Geraden $g_7$ mit der

x-Achse.

Setze$\ g_7=0\$ und berechne$\ x$.

$-\frac{1}{2}x+3=0$

Die Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden $\ g_7\$mit der $x-$Achse sind dann:

$\ N(6|0)$

a.) Baumdiagramm

Die zweite Kugel soll schwarz sein, für diese Ereignis kommen nur die beiden blau markierten Äste in Frage.

Berechnen die Wahrscheinlichkeit für diese Ereignis:

$\ P=\ \dfrac{3}{6}\cdot\dfrac{1}{5}+\dfrac{2}{6}\cdot\dfrac{1}{5}\ =\ \dfrac{3}{30}+\dfrac{2}{30}\ =\ \dfrac{5}{30}\ \approx\ 0{,}167\quad\Rightarrow\quad \underline{\underline{P\approx16{,}7\%}}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite gezogene Kugel eine schwarze Kugel ist, beträgt ungefähr $\ \boxed{16{,}7\%}$

Ohne Beachtung der Reihenfolge gibt es 3 verschiedene Farbkombinationen. Berechne die Wahrscheinlichkeit $\ P$ der 3 verschiedenen Farbkombinationen.

$\text{Schwarz-Rot}\hspace{5mm}\Rightarrow\quad\ P_{SR}=\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{6}\cdot\dfrac{1}{5}=\dfrac{2}{30}+\dfrac{2}{30}=\dfrac{4}{30}=0{,}1\overline{3}\approx13\%$

$\text{Schwarz-Grün}\quad\Rightarrow\quad\ P_{SG}=\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{3}{5}+\dfrac{3}{6}\cdot\dfrac{1}{5}=\dfrac{3}{30}+\dfrac{3}{30}=\dfrac{6}{30}=0{,}2=20\%$

$\boxed{\text{Rot-Grün}\hspace{9mm}\Rightarrow\quad\ P_{RG}=\dfrac{3}{6}\cdot\dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{6}\cdot\dfrac{3}{5}=\dfrac{6}{30}+\dfrac{6}{30}=\dfrac{12}{30}=0{,}4=40\%}$

Für die Farbkombination Rot-Grün beträgt die Wahrscheinlichkeit $\boxed{\ P=40\%}$

$\dfrac{i+e}{k}=\dfrac{e}{f}$ (2. Strahlensatz)

$\dfrac{d}{e}=\dfrac{c}{b}$ oder $\dfrac{b}{e}=\dfrac{c}{d}$ (1. Strahlensatz)

$\dfrac{a}{k}=\dfrac{c}{d+h}$ (2. Strahlensatz)