Umformen der allgemeinen Form in die Scheitelform:

Jetzt kannst Du den Scheitelpunk ablesen:$\mathrm{S}(-1|-4)$

$f(x)=x^2+2x-3$

setze die die x-Werte der Punkte $A$ und $B$ in den Funktionsterm ein und vergleiche den jeweiligen Funktionswert.

$f(-2)=(-2{)}^2+2\cdot (-2)-3=4-4-3=-3$

$f(-2)=-3\Rightarrow$der Punkt $A$ liegt auf der Parabel $p_1$

$f(2)=(2{)}^2+2\cdot (2)-3=4+4-3=5$

$f(2)=5\Rightarrow$der Punkt $B$ liegt auf der Parabel $p_1$

Um die Schnittpunkte der Parabel mit der $x$-Achse zu bestimmen, setze die Funktionsgleichung gleich $0$ und berechne $x$ z.B. mit der Mitternachtsformel

$x_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

$x^2+2x-3=0$

$x_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot 1\cdot (-3)}}{2}}$

$x_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{-2\pm \sqrt{4+12}}{2}}\Rightarrow x_1=1\Rightarrow Q(1|0)$

$x_2=-3\Rightarrow P(-3|0)$

Die allgemeine Form oder auch Hauptform einer quadratischen Funktion lautet:

$f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$

Da es sich um eine nach unten geöffnete Normalparabel handelt ist der Vorfaktor $a=(-1)$

Setze die gegebenen Punktepaare in die Funktionsgleichung ein.

$\begin{array}{llrcl}\text{Aus }C(1|-6):& I& -6& =& -1\cdot (1{)}^2+b\cdot (1)+c\\ \text{Aus }D(-4|-1):& II& -1& =& -1\cdot (-4{)}^2+b\cdot (-4)+c\end{array}$

Berechnung der Parameter mit dem Gleichsetzungsverfahren;

$\begin{array}{llrcl}& I& -6& =& -1+b+c\end{array}\Rightarrow c=-b-5$

$\begin{array}{llrcl}& II& -1& =& -16-4b+c\end{array}\Rightarrow c=4b+15$

Setze $I=II$

Setze $-4$ in $I$oder $II$ein und berechne $c$

$c=4-5=-1$

$c=-1$ jetzt kannst Du die Funktionsgleichung aufstellen

$p_2:y=-x^2-4x-1$

Aus der Abbildung kannst Du den Scheitel der Parabel $p_3$ablesen:$S_3(-2|6)$

stelle die Scheitelform der Parabel $p_3$auf, die Scheitelform lautet:

$f\left(x\right)=a(x-d{)}^2+e$

Setze die entsprechenden Werte des Scheitels$S_3$ ein.

$p_3:y=-(x+2{)}^2+6$

die Normalform ist dann:

$p_3:y=-x^2-4x+2$

Löse jetzt die Quadratische Gleichung z.B. mit der Mitternachtsformel

$x_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\Rightarrow x_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{-(-4)\pm \sqrt{4^2-4\cdot 1\cdot 3}}{2\cdot 1}}$

$x_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{4\pm \sqrt{4}}{2\cdot 1}}$

$x_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{4\pm 2}{2\cdot 1}}=2\pm 1$

$x_1=1$

$x_2=3$

Setze $x_1$ und$x_2$ in z.B. $g:y=2x-2$ ein und bestimme $y_1$ und$y_2$

Du kannst $x_1$und$x_2$auch in $p_4:y=x^2-2x+1$ einsetzen.

$y_1=1\cdot 2-2=0\Rightarrow T(1|0)$

$y_2=3\cdot 2-2=4\Rightarrow U(3|4)$