Umformen der allgemeinen Form in die Scheitelform:

Jetzt kannst Du den Scheitelpunk ablesen:$\quad \mathrm S\left(-1\left|-4\right.\right)$

$f(x)\ =\ x^2+2x-3$

setze die die x-Werte der Punkte $A$ und $B$ in den Funktionsterm ein und vergleiche den jeweiligen Funktionswert.

$f(-2)\ =\ (-2)^2+2\cdot(-2)-3\ =\ 4-4-3\ =\ -3$

$f(-2)\ =\ -3\quad\Rightarrow\quad$der Punkt $A$ liegt auf der Parabel $p_1$

$f(2)\ =\ (2)^2+2\cdot(2)-3\ =\ 4+4-3\ =\ 5$

$f(2)\ =\ 5\quad\Rightarrow\quad$der Punkt $B$ liegt auf der Parabel $p_1$

Um die Schnittpunkte der Parabel mit der $x$-Achse zu bestimmen, setze die Funktionsgleichung gleich $0$ und berechne $x$ z.B. mit der Mitternachtsformel

$x_{1{,}2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x^2+2x-3\ =\ 0$

$x_{1{,}2}=\dfrac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot1\cdot(-3)}}{2}$

$x_{1{,}2}=\dfrac{-2\pm\sqrt{4+12}}{2}\quad\Rightarrow\quad x_{\tiny 1}\ =\ 1\qquad \Rightarrow\quad Q(1|0)$

$\hspace{44mm}x_{\tiny2}\ =\ -3\quad\Rightarrow\quad P(-3|0)$

Die allgemeine Form oder auch Hauptform einer quadratischen Funktion lautet:

$f\left(x\right)=ax^2+bx+c$

Da es sich um eine nach unten geöffnete Normalparabel handelt ist der Vorfaktor $a=(-1)$

Setze die gegebenen Punktepaare in die Funktionsgleichung ein.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llrcl}\text{Aus }C(1|-6): &I &-6 &= &-1\cdot (1)^2+b\cdot (1)+c\\\text{Aus }D(-4|-1): &II &-1 &= &-1\cdot (-4)^2+b\cdot(-4)+c\end{array}$

Berechnung der Parameter mit dem Gleichsetzungsverfahren;

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llrcl} &I &-6 &= &-1+b+c\end{array}\ \ \ \ \ \quad\Rightarrow\quad c=-b-5$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llrcl} &II &-1 &= &-16-4b+c\end{array}\quad\Rightarrow\quad c=4b+15$

Setze $I\ =\ II$

Setze $-4$ in $I\$oder $II$ein und berechne $c$

$c\ =\ 4-5\ =\ -1$

$c\ =\ -1\$ jetzt kannst Du die Funktionsgleichung aufstellen

$p_{\tiny2}:y\ =-x^2-4x-1$

Aus der Abbildung kannst Du den Scheitel der Parabel $p_{\tiny 3}\$ablesen:$\ S_{\tiny 3}(-2|6)\$

stelle die Scheitelform der Parabel $\ p_{\tiny 3}\$auf, die Scheitelform lautet:

$\ f\left(x\right)=a(x-d)^2+e$

Setze die entsprechenden Werte des Scheitels$\ S_{\tiny 3}$ ein.

$p_{\tiny 3}:y\ =\ -(x+2)^2+6$

die Normalform ist dann:

$p_{\tiny 3}:y\ =\ -x^2-4x+2$

Löse jetzt die Quadratische Gleichung z.B. mit der Mitternachtsformel

$x_{1{,}2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\qquad\Rightarrow\ x_{1{,}2}=\dfrac{-(-4)\pm\sqrt{4^2-4\cdot1\cdot3}}{2\cdot1}$

$\hspace{4.8cm}x_{1{,}2}=\dfrac{4\pm\sqrt{4}}{2\cdot1}$

$\hspace{4.8cm}x_{1{,}2}=\dfrac{4\pm{2}}{2\cdot1}\ =\ 2\pm1$

$x_1\ =\ 1$

$x_2\ =\ 3$

Setze $x_1$ und$\ x_2$ in z.B. $\ g: y\ =\ 2x-2$ ein und bestimme $y_1$ und$\ y_2$

Du kannst $x_1\$und$\ x_2\$auch in $p_4:y=x^2-2x+1$ einsetzen.

$y_1\ =\ 1\cdot2-2\ =\ 0\qquad\Rightarrow\ T(1|0)$

$y_2\ =\ 3\cdot2-2\ =\ 4\qquad\Rightarrow\ U(3|4)$