Bilde die ersten beiden Ableitungen:

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=3x^2+2x-1f\text{'}\backslash left(x\backslash right)=3x^2+2x-1$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\left(x\right)=6x+2f\text{'}\text{'}\backslash left(x\backslash right)=6x+2$

Damit ein lokales Extremum existiert, muss die notwendige Bedingung $f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=0f\text{'}\backslash left(x\backslash right)=0$ erfüllt sein:

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=0f\text{'}\backslash left(x\backslash right)=0$

$3x^2+2x-1=03x^2+2x-1=0$

$x^2+\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}=0x^2+\backslash frac\{2\}\{3\}x-\backslash frac\{1\}\{3\}=0$

$x_1=-\frac{1}{3}+\sqrt{(\frac{1}{3}{)}^2+\frac{1}{3}}=-\frac{1}{3}+\sqrt{\frac{1}{9}+\frac{3}{9}}=\frac{1}{3}x\_1=-\backslash frac\{1\}\{3\}+\backslash sqrt\{(\backslash frac\; 1\; 3)^2+\backslash frac\; 1\; 3\}=-\; \backslash frac\; 1\; 3\; +\; \backslash sqrt\{\backslash frac\; 1\; 9\; +\; \backslash frac\; 3\; 9\}=\backslash frac\; 1\; 3$

$x_2=-\frac{1}{3}-\sqrt{(\frac{1}{3}{)}^2+\frac{1}{3}}=-\frac{1}{3}-\sqrt{\frac{1}{9}+\frac{3}{9}}=-1x\_2=-\backslash frac\{1\}\{3\}-\backslash sqrt\{(\backslash frac\{1\}\{3\})^2+\backslash frac\{1\}\{3\}\}=-\backslash frac\{1\}\{3\}-\backslash sqrt\{\backslash frac\{1\}\{9\}+\backslash frac\{3\}\{9\}\}=-1$

Damit gibt es zwei Kandidaten für lokale Extrema. Falls die zweite Ableitung bei einem gefundenen Kandidaten ungleich Null ist, ist die hinreichende Bedingung erfüllt und es ist nachgewiesen, dass es sich um lokale Extremstellen handelt:

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(\frac{1}{3})=6\cdot \frac{1}{3}+2=4f\text{'}\text{'}(\backslash frac\{1\}\{3\})=6\backslash cdot\backslash frac\{1\}\{3\}+2=4$

Das ist echt größer als Null. Damit ist $x_1=\frac{1}{3}x\_1=\backslash frac\{1\}\{3\}$ eine lokale Extremstelle. Da die zweite Ableitung größer Null ist, muss hier ein Minimum vorliegen. Um den Extrempunkt angeben zu können muss man nun noch $x_1=\frac{1}{3}x\_1=\backslash frac\{1\}\{3\}$ in die Funktionsgleichung einsetzen:

$f\left(\frac{1}{3}\right)={\left(\frac{1}{3}\right)}^3+{\left(\frac{1}{3}\right)}^2-\frac{1}{3}+1=\frac{{22}^{}}{27}f\backslash left(\backslash frac\{1\}\{3\}\backslash right)=\backslash left(\backslash frac\{1\}\{3\}\backslash right)^3+\backslash left(\backslash frac\{1\}\{3\}\backslash right)^2-\backslash frac\{1\}\{3\}+1=\backslash frac\{22^\{\; \}\}\{27\}$

Also ist ein lokales Mininmum gefunden: $Min(\frac{1}{3};\frac{22}{27})Min\backslash left(\backslash frac\{1\}\{3\};\backslash frac\{22\}\{27\}\backslash right)$

Nun noch für $x_2=-2x\_2=-2$ das gleiche Vorgehen:

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(-1)=6\cdot (-1)+2=-4f\text{'}\text{'}(-1)=6\backslash cdot\backslash left(-1\backslash right)+2=-4$

Das ist echt kleiner als Null. Damit ist $x_2=-1x\_2=-1$ eine lokale Extremstelle. Da die zweite Ableitung kleiner Null ist, muss hier ein Maximum vorliegen. Um den Extrempunkt angeben zu können muss man nun noch $x_2=-1x\_2=-1$ in die Funktionsgleichung einsetzen:

$f(-1)={(-1)}^3+{(-1)}^2-(-1)+1=2f\backslash left(-1\backslash right)=\backslash left(-1\backslash right)^3+\backslash left(-1\backslash right)^2-\backslash left(-1\backslash right)+1=2$

Also ist ein lokales Maximum gefunden: $Max(-1;2)Max\backslash left(-1;2\backslash right)$