Teil 1 Stochastik - lernen mit Serlo!

Für zwei gegebene Ereignisse A und B gilt: $P\left(\overline{A}\right)=\frac{2}{3},\ P\left(A\cap B\right)=0\$ und $P\left(A\cup B\right)=\frac{4}{9}$ .

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit $P\left(B\right)$ , z.B. mithilfe einer Vierfeldertafel. (4 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierfeldertafel

Initiale Werte in die Vierfeldertafel eintragen

Übertrage die gegebenen Werte in die Vierfeldertafel, dabei kannst du $P\left(A\cup B\right)$ noch nicht direkt eintragen.

	$A$	$\overline{A}$
$B$	$0$
$\overline{B}$
		$\frac{2}{3}$	$1$

Berechne mithilfe der gegebenen Werte weitere Werte:

	$A$	$\overline{A}$
$B$	$0$
$\overline{B}$
	${\color{red}\frac 1 3}$	$\frac{2}{3}$	$1$

	$A$	$\overline{A}$
$B$	$0$
$\overline{B}$	${\color{red}\frac 1 3}$
	$\frac 1 3$	$\frac{2}{3}$	$1$

Zusammengesetzte Wahrscheinlichkeit verwenden

Die zusammengesetzte Wahrscheinlichkeit $P\left(A\cup B\right)$ lässt sich wie folgt beschreiben:

$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\cap B\right)+P\left(A\cap\overline{B}\right)+P\left(\overline{A}\cap B\right)$

Setze die gegeben Werte ein und löse die Gleichung:

$\displaystyle P\left(A\cup B\right)$	$=$	$\displaystyle P\left(A\cap B\right)+P\left(A\cap\overline{B}\right)+P\left(\overline{A}\cap B\right)$
	↓	Einsetzen
$\displaystyle \frac{4}{9}$	$=$	$\displaystyle 0+\frac 1 3 + P(\overline A \cap B)$	$\displaystyle -\frac{1}{3}$
$\displaystyle \frac{1}{9}$	$=$	$\displaystyle P\left(\overline{A}\ \cap B\right)$

Mit dieser Information lässt sich die Vierfeldertafel vervollständigen und $P(B)$ angeben:

	$A$	$\overline{A}$
$B$	$0$	$\frac{1}{9}$	${\color{red}\frac 1 9}$
$\overline{B}$	$\frac 1 3$	$\frac{5}{9}$	$\frac{8}{9}$
	$\frac 1 3$	$\frac{2}{3}$	$1$

$P\left(B\right)=\frac{1}{9}$

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